2.3 Diagonais e triangulação

Além de lados, vértices e ângulos de um polígono, podemos ainda definir outros elementos: as suas diagonais.

Chamamos de diagonais de um polígono os segmentos que ligam dois vértices não consecutivos e estão completamente contidos no polígono. Se o polígono for convexo, qualquer segmento que liga dois vértices não consecutivos é uma diagonal.

Observe, na Figura 23, duas diagonais do polígono da Figura 9 que partem do ponto A.

Note que $d_1$ e $d_2$ são as únicas diagonais do polígono acima que tem A como uma de suas extremidades. O que acontece é que, partindo de um determinado vértice, um polígono convexo possui $n-3$ diagonais, onde $n$ é o número total de vértices do polígono e três são os vértices que ligados a $A$ não originam diagonais (nessa caso, $B, E$ e o próprio $A$). Como o polígono acima possui 5 lados, partindo de $A$ existem exatamente duas diagonais. Assim, para calcular o número total de diagonais de um polígono convexo não haverá dificuldade.

Note que, em um polígono de $n$ vértices (lembrem-se que o número de vértices e de lados é o mesmo), de cada vértice partem $(n-3)$ diagonais. Portanto:

A divisão por dois é feita pelo fato de que cada diagonal é contada duas vezes no nosso método inicial. Por exemplo, na Figura 23 as diagonais $\overline{AD}$ e $\overline{DA}$, que são iguais, são contadas separadamente: partindo de $A$ e partindo de $D$.