2.5 Baricentro ou centro de massa

Ao envolver um objeto gráfico por um objeto geométrico é necessário definir um ponto de referência que designa a localização e seu centro, sobre o qual podem ser aplicadas transformações. Quando utilizamos um círculo como representação do espaço ocupado por um objeto, seu ponto de referência é, naturalmente, o centro do círculo.

E no caso dos polígonos, qual ponto deve ser designado como centro do objeto? Para responder a essa pergunta imagine que, sobre um material de densidade uniforme, foi desenhado o círculo e o polígono convexo da Figura 28.

Se pensarmos em equilibrar o círculo sobre um ponto interior a ele, a escolha do ponto é óbvia: seu centro. A ideia do centro do polígono é exatamente a mesma. Qual o ponto em que eu poderia equilibrar o polígono? Qual o seu centro de massa? A esse ponto damos o nome de baricentro.

Polígonos que possuem todos os lados iguais, os chamados polígonos regulares, possuem centro de massa bastante evidente, como o círculo. Seu baricentro pode ser encontrado calculando a média das abscissas e das ordenadas de seus vértices. Vamos chamar esse ponto de centro médio.

O centro médio $(x_M, y_M)$ de um polígono pode ser encontrado pelas expressões

onde $(x_i, y_i)$, para $i= 1, 2, 3, ..., n$, são os vértices do polígono.

Em polígonos que não são regulares como o da Figura 28, o centro médio pode ficar distante do baricentro ou centro de massa. Se houver, por exemplo, uma grande concentração de vértices em um lado do polígono, o centro médio será deslocado para aquele lado. Como, então, pode ser calculado o baricentro de um polígono?

Antes de prosseguirmos para obter essa resposta é necessário saber como calcular a área de um polígono, pois a distribuição de massa de um corpo está intimamente ligada ao seu volume e, no caso de objetos planos, à sua área.

A área $A$ de um polígono é dada pela expressão

onde $(x_i, y_i)$, para $i= 1, 2, 3, ..., n$, são os vértices do polígono e $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$.

O baricentro $(x_G, y_G)$ de um polígono pode ser encontrado pelas expressões

onde $(x_i, y_i)$, para $i= 1, 2, 3, ..., n$, são os vértices do polígono, $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$ e $A$ a área do polígono.

É importante destacar que em cada uma dessas expressões a ordem dos vértices do polígono é de extrema importância, sendo o vértice $(x_i, y_i)$ aquele que está ligado aos vértices $(x_{i-1}, y_{i-1})$ e $(x_{i+1}, y_{i+1})$. Além disso, a ordenação dos vértices deve estar em sentido anti-horário. A expressão da área, por exemplo, resultará em um valor negativo caso os vértices sejam indexados em sentido horário. Isso acarretará em valores errados para as coordenadas do baricentro.