5.2. Encontrando a distância entre dois pontos

Observe as imagens e responda:

a) Qual a distância entre os pontos $A$ e $B$ ?

b) Qual a distância entre os pontos $C$ e $D$ ?

Observações referentes aos itens a e b:

a) No item a, a distância entre os pontos $A$ e $B$ é 4 unidades de comprimento. Mas, é importante observar as coordenadas dos pontos. O ponto $A = (2,0)$ e $B = (6,0)$. Veja que 4 é o resultado da diferença entre as abscissas dos pontos.

b) No item b, a distância entre os pontos $C$ e $D$ é 2 unidades de comprimentos. As coordenadas dos pontos são: $A = (0,1)$ e $C = (0,3)$. Veja que 2 é o resultado da diferença entre as ordenadas dos pontos.

Agora, encontre a distância entre os pontos E e F.

Veja que os pontos não estão em cima dos eixos coordenados e assim não podemos encontrar essa distância da mesma forma que encontramos as distâncias entre os pontos nos itens a e b. Então, para encontrar essa distância contaremos com o auxílio de uma construção geométrica a partir das coordenadas dos pontos.

Veja:

Observe que o triângulo destacado de verde é retângulo e a distância procurada corresponde à sua hipotenusa. Chamamos essa distância de distância euclidiana.

Podemos encontrar as medidas dos catetos como fizemos nos itens a e b. E, tendo as medidas dos catetos aplicaremos o Teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa.

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

Logo, a distância do ponto E ao ponto $F$ é igual a $2\sqrt(5)$ unidades de comprimento.

De maneira geral, dadas as coordenadas de dois pontos, podemos encontrar a distância entre eles seguindo esse mesmo raciocínio. Veja:

Sejam $A$ e $B$ os pontos de coordenadas $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$, respectivamente. Queremos encontrar a distância entre esses dois pontos e, para isso, utilizaremos o teorema de Pitágoras no triângulo destacado na imagem. Veja que a distância procurada é a hipotenusa do triângulo e os catetos têm as seguintes medidas: $(x_2-x_1)$ e $(y_2-y_1)$. Assim, temos: