1. Os números e a localização

1.1. Localizando-se no dia a dia

Localizar significa indicar o lugar onde alguém ou algo se encontra. Para nos localizarmos no dia a dia, geralmente, usamos pontos de referência. Se alguém pergunta onde fica o prédio do Instituto Metrópole Digital, por exemplo, você pode responder dizendo que ele fica ao lado da residência universitária do Campus Central da UFRN. Mas, imagine que essa pergunta tenha sido feita por alguém que não conhece o campus. Essa informação seria útil a alguém que não conhece a universidade?

Nesse caso, se a pessoa deseja chegar até o prédio do Instituto Metrópole Digital, você precisa orientá-la dizendo o caminho que ela deveria seguir a partir de onde ela se encontra. Indicar um ponto de referência não seria suficiente.

Alguém que quer chegar a um lugar onde nunca foi pode utilizar o sistema de localização chamado de GPS. Mas o que é o GPS? A sigla representa o termo Global Positioning System que quer dizer Sistema de Posicionamento Global. Trata-se de um sistema composto por uma constelação de satélites. Para que haja precisão na localização de uma pessoa ou objeto, é necessário que três ou mais desses satélites possam receber e enviar informações a um aparelho receptor, que pode ser um smartphone que tenha essa tecnologia ou um aparelhinho que carrega o mesmo nome do sistema: o GPS. O aparelho receptor calcula a distância a que se encontra de cada um desses satélites e assim é capaz de determinar a localização com precisão de metros.

O ponto azul é a localização do IMD, que está a uma distância a da Escola de Música, uma distância b do Terminal de Ônibus da UFRN e a uma distância c do Anexo da SINFO – UFRN. O Único ponto que se encontra a essas distâncias dos três pontos de referência é o ponto de interseção das três circunferências. E assim é possível encontrar o IMD!

Com o GPS funciona da mesma forma mas os pontos de referência são os próprios satélites.

A finalidade do exemplo do GPS é que você perceba a importância das orientações de localização e que existem conhecimentos matemáticos por trás dessa e de outras tecnologias.

Para continuar nosso estudo vamos a mais um exemplo do nosso cotidiano. Imagine que você precisa ir a um evento em um lugar onde nunca foi. Partindo da sua casa, que chamaremos de ponto de origem, naturalmente podemos pensar em algumas maneiras de descrever onde fica esse local.

Sabendo onde fica a rua do destino será fácil encontrá-lo. Basta imaginar que essa rua é uma reta enumerada e que cada casa/imóvel está relacionada a um número da reta.

A menos que essa rua seja muito extensa, o que pode fazer com que você perca muito tempo procurando o local exato do evento.

Para restringir o espaço da procura, podemos adicionar uma informação: o cruzamento mais próximo do local do evento, por exemplo. Dessa forma, ao invés de procurar na rua inteira você restringiria sua busca à vizinhança daquele cruzamento.

Se o nosso ponto de origem e destino fossem os representados na figura abaixo, por exemplo, na primeira abordagem diríamos que o evento será na Rua das Laranjeiras. Na segunda abordagem diríamos que o local do evento fica no cruzamento da Rua das Laranjeiras com a Av. dos Girassóis e assim fica muito fácil encontrar o local exato.

Mas se você não souber onde fica a Rua das Laranjeiras nem a Av. dos Girassóis as dicas acima não farão o menor sentido. Será necessário que alguém o ensine a chegar até aquela rua a partir de um ponto de origem que você conheça.

Para sair, por exemplo, do ponto de origem ao destino na figura representada acima, podemos dar as orientações a seguir:

• Siga em direção ao Norte;
• Cruze duas ruas entrando à direita na terceira.
• Siga em direção ao Leste;
• Cruze quatro ruas. Seu destino encontra-se no quinto cruzamento.

Outra maneira de dar as instruções seria a seguinte:

• Siga em direção ao Leste;
• Cruze quatro ruas, entrando à esquerda na quinta;
• Siga em direção ao Norte;
• Cruze duas ruas. Seu destino encontra-se no terceiro cruzamento.

Se fizermos disso um jogo no qual o deslocamento entre duas ruas na direção Leste fosse um L e na direção Norte um N, qualquer combinação entre cinco L e três N nos levariam ao nosso destino. A figura abaixo mostra duas das combinações possíveis (diferentes das possibilidades dadas acima) para chegar ao destino com esses comandos:

Essa forma de indicar o local do evento traz algumas particularidades. Se trocarmos a ordem da instrução (como fizemos) ainda seremos capazes de chegar ao destino. Basta que o sentido e as unidades de medida sejam respeitados. No nosso exemplo as unidades de medida são as ruas e avenidas cruzadas e os sentidos são “em direção ao Norte” e “em direção ao Leste”.

Com as informações acima é possível criar um código para expressar de maneira sucinta a posição do destino com relação ao ponto de partida. Poderíamos codificar a informação dizendo que o destino se encontra na posição 5-Leste/3-Norte, por exemplo. Ou mesmo ao contrário: 3-Norte/5-Leste.

Podemos dizer que nosso pequeno mapa é um espaço orientado por esses sentidos de deslocamento.

Vistos dessa forma, no nosso dia a dia essa localização pode parecer difícil de descrever matematicamente. Pensando em formalizar isso, o filósofo e matemático francês René Descartes propôs uma maneira de localizar objetos em um espaço orientado.

A proposta de Descartes para descrever objetos e sua localização muito se assemelha ao exemplo anterior onde a partir do mapa das ruas foi possível localizar o local do evento. Para indicar a localização de pontos (e conjuntos de pontos) usaremos um mapa, um espaço orientado, chamado de Plano Cartesiano que introduziremos a seguir.