Exercício Resolvido 1

Ao jogar uma partida de RTS, o jogador se deparou com um problema interessante durante a captação de recursos. Dois arbustos, representados pelos pontos $A$ e $C$, possuíam o recurso que deveria ser captado e levado até seu depósito, representado pelo ponto $B$. Para que a captação ocorresse da forma desejada, a distância entre o depósito e cada um dos arbustos deveria ser a mesma e a menor possível. No entanto, devido a uma das regras do jogo, a distância mínima entre o depósito e qualquer arbusto deveria ser de cinco unidades, que, nesse caso, é a mesma distância que separa os arbustos. Sabendo que o arbusto $A$ está centrado em $(2, 2)$ e o arbusto $C$ em $(7, 2)$, encontre o melhor ponto para construir o depósito respeitando as regras do jogo.

Para resolver esse problema devemos observar que, se a distância de $A$ até $B$ deve ser igual à distância de $C$ até $B$, o ponto $B$ deve estar em algum lugar sobre a reta que passa no ponto médio de $\bar{AC}$. (figura ao lado).

Sendo assim, a abscissa de $B$ dede ser igual a $4,5$.

Basta agora encontrarmos sua ordenada. Seja $d_{ba}$ a distancia de $B=(x_b,y_b)$ até $A=(x_a,y_a)$. Então

Como $x_a,y_a$ e $x_b$ são conhecidos, basta substituí-los na equação acima.

Mas a distância de $A$ até $B$ deve ser igual a $5$ unidade, para que o depósito seja construído à menor distância possível dos arbustos.

Assim, podemos encontrar o valor de $y_b$ resolvendo a equação acima. Atenção! A equação nos fornece dois valores para $y_b: 6.33$ ou $-2.33$. Quaisquer desses dois valores resolvem o nosso problema. Porém, pela imagem que ilustra a situação, o ponto $B$ terá coordenadas $(4.5, 6.33)$.