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arrow_back Aula 04 - Vetores, Operações e suas Interpretações Geométricas

2.1 Produto de um escalar por um vetor

A operação produto de um vetor $\vec{u}=(a, b)$ por um escalar $k$ é definido como

$k\vec{u} = (ka, kb)$,

onde $ka$ e $kb$ são produtos entre escalares com os quais já estamos habituados.

Se $\vec{u}=(-1, 2) $ e $k=2$, temos

$k\vec{u} = (2(-1), 2\cdot 2) = (-2, 4)$.

Atividades

Encontre o vetor ku para cada escalar k e vetor u dado abaixo:

a) $\vec{u}=(1, 3) $ e $k=1$

b) $\vec{u}=(-1, 1) $ e $k=-1$

c) $\vec{u}=(2, 1) $ e $k=3$

Ao realizarmos o produto de um vetor $\vec{u}$ por um escalar obteremos como resultado um vetor com a mesma direção de $\vec{u}$.

O sentido do vetor $k\vec{u}$ dependerá do sinal do escalar $k$. Se $k$ for positivo, $k\vec{u}$ terá o mesmo sentido de $\vec{u}$. Se $k$ for negativo, ku $k\vec{u}$ terá sentido contrário ao de $\vec{u}$, ou seja, apontará no sentido oposto.

A norma do vetor $k\vec{u}$ depende do valor absoluto de $k$. Vamos calcular a norma desse vetor?

$\ \ \ ||k\vec{u}||= \sqrt{(ka)^2+(kb)^2}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{k^2a^2+k^2b^2}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{k^2(a^2+b^2)}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ = |k| \sqrt{ (a^2+b^2)}$

onde $|k|$ é o valor absoluto ou módulo do escalar $k$.

Então

$||k\vec{u}||=|k| \sqrt{a^2+b^2}=|k|⋅||\vec{u}||$

ou seja, a norma do vetor $k\vec{u}$ é o produto do valor absoluto de $k$ pela norma do vetor $\vec{u}$.

A Figura 7 mostra a interpretação geométrica do que foi discutido acima.

Se pensarmos no vetor como um deslocamento, o produto de um vetor por um escalar $k$ seria realizar aquele deslocamento $k$ vezes (quando $k$ é um número inteiro). Veja na Figura 8 como realizamos duas vezes o deslocamento do vetor $\vec{u}= (3, 2)$ da Figura 6.

Atividade

Calcule a norma do vetor $\vec{u}= (3, 2)$. Depois encontre o vetor $k\vec{u}$ onde $k=4$ e calcule sua norma. Por fim, calcule o produto $|k| ||\vec{u}||$ e compare os resultados.

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