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arrow_back Aula 04 - Vetores, Operações e suas Interpretações Geométricas

4.1.1 Produto Vetorial

A última operação entre vetores que trataremos nesta aula é o produto vetorial. Esse produto só é definido para vetores de três dimensões, vetores que “moram” no espaço tridimensional em oposição aos vetores que “moram” no plano com os quais trabalhamos ao longo desta aula.

Além disso, o produto vetorial resulta em um vetor e não é comutativo, ao contrário do produto escalar. Este também é conhecido como cross product pelo símbolo que o representa: um $\times$ entre os vetores.

Definimos o produto vetorial entre $\vec{u} = (a_1, b_1, c_1)$ e $\vec{v} = (a_2, b_2, c_2)$ como

$ \vec{u} \times \vec{v} = (b_1 c_2-c_1 b_2,c_1 a_2-a_1 c_2,a_1 b_2-b_1 a_2 )$.

Por exemplo, se $\vec{u}=(1, 2, 0)$ e $\vec{v}=(-1, 1, 3)$,

$\vec{u} \times \vec{v} = (2 \cdot 3 - 0\cdot 1, 0\cdot (-1) - 1\cdot 3, 1\cdot 1 - 2\cdot (-1) ) = (6, -3, 3)$.

O produto vetorial é anticomutativo, ou seja,

$ \vec{v} \times \vec{u} = - (\vec{u} \times \vec{v})$

Vamos, então, calcular $\vec{v} \times \vec{u}$ para os vetores do primeiro exemplo:

$\vec{v} \times \vec{u} = -(6, -3 , 3) = (-6, 3,-3)$.

O produto vetorial entre $ \vec{u}$ e $\vec{v}$ resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores $ \vec{u}$ e $\vec{v}$ e cuja magnitude

$||\vec{u} \times \vec{v}||=||\vec{u}|| ||\vec{v}|| sen \theta$,

onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores, como podemos ver na Figura 22.

A norma do vetor $\vec{u} \times \vec{v}$ resulta exatamente na área do paralelogramo formado com dois lados $\vec{u}$ e dois lados $\vec{v}$, como na Figura 23.

Paralelogramo de dois lados $\vec{u}$ e dois lados $\vec{v}$

Sabemos que a área desse paralelogramo é igual à norma de $\vec{v}$ vezes $h$. Podemos encontrar o valor de $h$ considerando o triângulo retângulo cuja hipotenusa é $\vec{u}$.

$sen \theta = \frac{h}{||\vec{u}||} ⇒ h = ||\vec{u}|| sen \theta.$

Então a área do paralelogramo é

$||\vec{v}|| ||\vec{u}||sen \theta =||\vec{u} \times \vec{v}||$.

Ao definir produto vetorial afirmamos que o vetor resultante do produto $\vec{u} \times \vec{v}$ é perpendicular a $\vec{u}$ e a $\vec{v}$. Mas em que sentido deve apontar o vetor $\vec{u} \times \vec{v}$?

Os dois sentidos possíveis para o vetor $\vec{u} \times  \vec{v}$.
Em alguns sistemas de coordenadas a regra utilizada é a regra da mão esquerda, que resultará no sentido oposto ao encontrado com a regra da mão direita. No entanto, a menos que se diga o contrário, regras da física e da matemática consideram sempre os sistemas de coordenadas destros.

Para decidir qual o sentido do vetor resultante utilizamos a chamada regra da mão direita.

A primeira coisa a se fazer é alinhar os dois vetores u e v partindo do mesmo ponto, como na Figura 24.

A seguir, alinhe sua mão direita na direção do vetor u com as pontas dos dedos voltadas para o sentido em que aponta o vetor $\vec{u}$ e a palma da mão como se dela saísse o vetor $\vec{v}$. O seu polegar estará apontando no sentido do vetor $\vec{u} \times \vec{v}$. Veja a Figura 25.

regra da mão direita

Lembre-se de usar sempre a mão direita! Caso contrário, você encontrará um vetor que aponta no sentido oposto ao sentido correto.

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