4.1.1 Produto Vetorial

A última operação entre vetores que trataremos nesta aula é o produto vetorial. Esse produto só é definido para vetores de três dimensões, vetores que “moram” no espaço tridimensional em oposição aos vetores que “moram” no plano com os quais trabalhamos ao longo desta aula.

Além disso, o produto vetorial resulta em um vetor e não é comutativo, ao contrário do produto escalar. Este também é conhecido como cross product pelo símbolo que o representa: um $\times$ entre os vetores.

Definimos o produto vetorial entre $\vec{u} = (a_1, b_1, c_1)$ e $\vec{v} = (a_2, b_2, c_2)$ como

Por exemplo, se $\vec{u}=(1, 2, 0)$ e $\vec{v}=(-1, 1, 3)$,

O produto vetorial é anticomutativo, ou seja,

Vamos, então, calcular $\vec{v} \times \vec{u}$ para os vetores do primeiro exemplo:

O produto vetorial entre $\vec{u}$ e $\vec{v}$ resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ e cuja magnitude

onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores, como podemos ver na Figura 22.

A norma do vetor $\vec{u} \times \vec{v}$ resulta exatamente na área do paralelogramo formado com dois lados $\vec{u}$ e dois lados $\vec{v}$, como na Figura 23.

Sabemos que a área desse paralelogramo é igual à norma de $\vec{v}$ vezes $h$. Podemos encontrar o valor de $h$ considerando o triângulo retângulo cuja hipotenusa é $\vec{u}$.

Então a área do paralelogramo é

Ao definir produto vetorial afirmamos que o vetor resultante do produto $\vec{u} \times \vec{v}$ é perpendicular a $\vec{u}$ e a $\vec{v}$. Mas em que sentido deve apontar o vetor $\vec{u} \times \vec{v}$?

Para decidir qual o sentido do vetor resultante utilizamos a chamada regra da mão direita.

A primeira coisa a se fazer é alinhar os dois vetores u e v partindo do mesmo ponto, como na Figura 24.

A seguir, alinhe sua mão direita na direção do vetor u com as pontas dos dedos voltadas para o sentido em que aponta o vetor $\vec{u}$ e a palma da mão como se dela saísse o vetor $\vec{v}$. O seu polegar estará apontando no sentido do vetor $\vec{u} \times \vec{v}$. Veja a Figura 25.