2.4 Produtos entre dois vetores

Na seção 2.1 vimos que é possível multiplicar um vetor por um escalar. Nesta seção veremos dois produtos que são realizados entre vetores: o produto escalar ou dot e o produto vetorial ou cross.

O produto escalar entre dois vetores, como sugere seu nome, resulta em um número escalar, enquanto o produto vetorial resulta em um vetor. A seguir definiremos essas duas operações e discutiremos suas interpretações geométricas.

2.4.1 Produto escalar

O produto escalar está presente em vários momentos na programação de jogos digitais e é útil desde o processamento gráfico até a inteligência artificial. É chamado também de produto interno ou dot product, sendo esse último devido ao símbolo que utilizamos para identificá-lo: um ponto entre os vetores.

O produto escalar entre dois vetores $\vec{u}= (a_1, b_1)$ e $\vec{v}= (a_2, b_2)$ é definido como

Para essa operação discutiremos duas interpretações geométricas. Na primeira delas consideraremos o produto escalar como sendo uma projeção, ou sombra, de um vetor sobre o outro.

Suponha que o vetor $\vec{u}$ é um vetor unitário e o vetor $\vec{v}$ é um vetor de norma qualquer. O produto escalar $\vec{u}\cdot \vec{v}$ resulta no tamanho da projeção do vetor $\vec{v}$ sobre a reta que tem a direção do vetor $\vec{u}$

Podemos entender projeção, nesse contexto, como a sombra formada pelo vetor $\vec{v}$ sobre a reta que tem a mesma direção de $\vec{u}$ quando os raios de luz são perpendiculares a essa reta (veja as linhas pontilhadas como raios de luz!).

Nessa caso particular, então, $\vec{u} \cdot \vec{v}= ||\vec{v’}||$.

No caso em que a projeção aponta no sentido contrário do vetor unitário $\vec{u}$ temos a situação da Figura 17.

Nesse caso particular o produto $\vec{u}\cdot \vec{v}$ teria valor negativo e

Diante disso podemos dizer que o produto escalar de um vetor unitário $\vec{u}$ por um vetor qualquer $\vec{v}$ é o tamanho da projeção de $\vec{v}$ na direção de $\vec{u}$ acompanhado do sinal negativo (sinal - ) caso o vetor projeção aponte no sentido oposto ao vetor $\vec{u}$.

Outro caso particular a ser considerado é o caso em que os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são perpendiculares. Nesse caso a projeção de $\vec{v}$ sobre $\vec{u}$ será apenas um ponto e o produto escalar será igual a zero.

O que aconteceria com a projeção de $\vec{v}$ se o multiplicarmos por um escalar $k$? Vimos que, geometricamente, multiplicar um vetor por um escalar altera apenas a sua magnitude, a sua norma. Se o tamanho do vetor $\vec{v}$ aumenta, possivelmente sua projeção na direção de $\vec{u}$ aumentará.

Algebricamente, se $\vec{u}= (a_1, b_1)$ e $\vec{v}= (a_2, b_2)$ temos o seguinte:

Equação 1

Isso nos mostra que, ao multiplicar o vetor $\vec{v}$ por um escalar $k$, o tamanho de sua projeção também é multiplicado por $k$, como vemos na Figura 19.

Até aqui consideramos o vetor $\vec{u}$ como sendo um vetor unitário, ou seja, de norma igual a um. Para analisarmos o produto escalar de maneira mais geral, onde o vetor $\vec{u}$ tem uma norma qualquer, basta observar que multiplicar o vetor $\vec{v}$ por um escalar $k$ tem, algebricamente, o mesmo efeito de multiplicar o vetor $\vec{u}$ por $k$ (veja Equação 1 acima).

Note que multiplicar o vetor $\vec{u}$ por um escalar $k$ não altera a projeção do vetor $\vec{v}$ sobre a reta na direção de $\vec{u}$. No entanto, altera o valor do produto $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

De maneira geral, o produto escalar $\vec{u} \cdot \vec{v}$ é igual ao comprimento da projeção de $\vec{v}$ em uma reta com a mesma direção de $\vec{u}$, multiplicado pela norma de u $\vec{u}$ e acompanhado do sinal que indica se o vetor $\vec{u}$ e a projeção de v $\vec{v}$ apontam no mesmo sentido.

Na Figura 20, por exemplo, o produto $\vec{u} \cdot \vec{v}$ será

onde $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ são os comprimentos dos segmentos representados na figura.

Conhecendo os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ e o ângulo entre eles é possível também calcular o produto escalar $\vec{u} \cdot \vec{v}$. Para enxergar esse fato basta considerar o triângulo retângulo cuja hipotenusa é $\vec{v}$ e um dos catetos é $\vec{v’}$, a projeção de $\vec{v}$ na direção de $\vec{u}$. Veja a Figura 21.

Note na Figura 21 que o ângulo formado entre $\vec{v}$ e $\vec{v’}$ é o mesmo formado entre $\vec{v}$ e u $\vec{u}$. Como $\vec{v}$ é conhecido, podemos encontrar sua norma. Conhecendo o ângulo $\theta$ entre $\vec{v}$ e v $\vec{v}$ é fácil calcular a norma da projeção $\vec{v’}$, pois

Ou seja,

O sinal do produto interno novamente é associado ao fato do vetor $\vec{u}$ e a projeção de $\vec{v}$ apontarem no mesmo sentido (+) ou não (-).

Esse produto possui algumas propriedades fáceis de enxergar algebricamente. As enunciaremos a seguir. Considere os vetores $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$.

1. $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (o produto escalar é comutativo)
   
   
2. $ || \vec{u} || = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$
   
   
3. $\vec{u} \cdot (\vec{v} \pm \vec{w} ) = \vec{u} \cdot \vec{v} \pm \vec{u} \cdot \vec{w}$ (o produto escalar é distributivo sobre a adição e subtração de vetores)
   
   
4. $(k\vec{u} )\cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (k\vec{v} )= k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ (o produto escalar é associativo sobre o produto de um escalar por um vetor)