1. O que é um vetor?

O conceito de vetor encontrado nos livros de matemática, especialmente nos livros de Álgebra Linear no ensino superior, é um conceito bastante abstrato descrito através de propriedades que esses objetos possuem. O nosso objetivo nesta aula é nos ater a interpretação geométrica que podemos atribuir a esses objetos abstratos. Diremos, então, que um vetor é uma lista de instruções que nos dá uma direção, um sentido e uma intensidade.

Representamos um vetor, como mostrado na Figura 1, por uma seta. O que chamamos de direção do vetor pode ser descrito como a reta sobre a qual ele está posicionado. Já a ponta da seta nos indica o seu sentido. Por fim, sua intensidade é representada pelo comprimento da seta.

Podemos dizer que o vetor da Figura 1 tem direção vertical, sentido de baixo para cima e intensidade igual ao comprimento da seta que o representa.

Se posicionarmos o início da seta que representa esse vetor na origem do plano cartesiano, as coordenadas cartesianas do ponto onde a seta termina nos darão a representação algébrica do vetor. Na Figura 2 logo mais abaixo, por exemplo, as coordenadas do ponto $B$ representam o vetor. Utilizaremos a seguinte notação para representar o vetor $\vec{u}$ :

onde os números $1.44$ e $1.7$ são as componentes do vetor. Existem outras maneiras de representá-los, inclusive com as componentes apresentadas na vertical, como abaixo:

ou ainda como um simples par ordenado:

Quando representamos o vetor com suas componentes na horizontal, podemos nos referir a ele como vetor linha. Com as componentes na vertical podemos chamá-lo de vetor coluna.

A utilização correta dessas notações é muito importante para não gerar ambiguidades. Como um vetor e um ponto podem ser representados da mesma forma, muitas vezes o que definirá qual objeto está representado é a notação utilizada para representá-lo.

$B= (1.44, 1.7)$ é um ponto no plano cartesiano enquanto $\vec{u}= (1.44, 1.7)$ é um vetor no plano.

Um fato muito importante sobre os vetores é que eles não estão associados a uma posição fixa no plano. As coordenadas do ponto $B$ são suficientes para designar um vetor com a intensidade, direção e sentido do vetor $\vec{u}$, independentemente de onde ele está posicionado.

Na Figura 3, o vetor $\vec{u_1}$ é uma réplica do vetor $\vec{u}$ posicionada fora da origem. Para encontrar a representação do vetor $\vec{u_1}$ é necessário subtrair das coordenadas do ponto $B_1$ as coordenadas do ponto $A_1$.

Temos, então, que

Os vetores $\vec{u}$ e $\vec{u_1}$ têm a mesma direção, apontam no mesmo sentido e possuem a mesma intensidade e, por esses motivos, possuem a mesma representação. Na Figura 3 eles estão apenas representados em locais distintos, mas, na essência, são exatamente o mesmo vetor.

Em física, os vetores são largamente utilizados para representar grandezas. A força, por exemplo, é uma grandeza vetorial, assim como a velocidade. Ela exige a especificação de uma intensidade, uma direção e um sentido para estar completamente descrita.