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arrow_back Aula 06 - Sintonia de controladores PID: Método da integral do erro e método do relé

Método da Integral do Erro

Este método, assim como os estudados nas aulas anteriores, também considera que a dinâmica do processo pode ser representada por um modelo de 1a ordem com ganho K, constante de tempo τ (tau) e tempo morto θ (teta). Em Lopez et al. (1967), é descrito um método que minimiza os índices (IAE ou ITAE) para um problema do tipo regulador (perturbação de carga). Foram considerados sistemas com fator de incontrolabilidade entre 0 e 1. Como resultado do trabalho, foram obtidas as seguintes equações para sintonia dos controladores:

Kp=1k(A(θτB))
Ti=τ(C(θτ)D)
Td=τ(E(θτ)F)

As constantes A, B, C, D, E e F, para o caso regulador, são obtidas de acordo com o controlador desejado e com o critério que deve ser minimizado. A Tabela 1 apresenta essas constantes para o caso regulador.

Controlador Critério A B C D E F
PI IAE 0.984 -0.986 0.608 -0.707 - -
PI ITAE 0.859 -0.977 0.674 -0.680 - -
PID IAE 1.435 -0.921 0.878 -0.749 0.482 1.137
PID ITAE 1.357 -0.947 0.842 -0.738 0.381 0.995
Tabela 1 - Tabela de constantes para sintonia do PID pelo método da integral do erro (caso regulador).
Fonte: Campos e Teixeira (2010).

Clique a seguir e assista a uma introdução complementar da abordagem do método da integral do erro.

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Vídeo 03 - Método da Integral do Erro

Em Rovira et al. (1969), é descrito um método que minimiza o IAE e o ITAE para um problema do tipo servo (perturbação no setpoint - mudança na referência do sistema). As equações para o caso servo são mostradas a seguir.

Kp=1K(A(θτ)B)
Ti=τ(C+D(θτ))
Td=τ(E(θτ)F)

As constantes A, B, C, D, E e F, para o caso servo, são obtidas de acordo com o controlador desejado e com o critério que deve ser minimizado. A Tabela 2 apresenta essas constantes para o caso servo.

Controlador Critério A B C D E F
PI IAE 0.758 0.861 1.02 -0.323 - -
PI ITAE 0.586 -0.916 1.03 -0.165 - -
PID IAE 1.086 -0.869 0.740 -0.130 0.348 0.914
PID ITAE 0.965 -0.850 0.796 -0.147 0.308 0.929
Tabela 2 - Tabela de constantes para sintonia do PID pelo método da integral do erro (caso servo).
Fonte: Campos e Teixeira (2010).

Seja um processo com a seguinte dinâmica: ganho estático (K) igual a 1, constante de tempo (τ) igual a 2 e tempo morto (θ) igual a 1. Considere um controlador PI, então a sintonia ótima para um degrau na perturbação de carga obtida pela Tabela 1 será (Critério ITAE):

Kp=1K(AθτB)=11(0.859120.977)=1.6908

e

Ti=τ(C(θτ)ˆD)=2(0.674(12)0.68)=1.8521

A sintonia ótima deste PI para um degrau no setpoint obtida pela Tabela 2 será (Critério ITAE):

Kp=1K(A(θτ)B)=11(0.586(12)0.916)=1.1057

e

Ti=τ(C+D(θτ))=2(1.03+(0.165)(12))=2.1108

Nota-se, assim, que o cálculo dos parâmetros do controlador pela Tabela 2 é mais suave (mais robusta), pois dá origem a ganhos proporcionais menores e tempos integrais maiores. A Figura 1 mostra o desempenho dessas duas sintonias para um degrau no setpoint (os controladores foram sintonizados pelas Tabelas 1 e 2, logo após aplicado um degrau no setpoint).

Figura 01 - Respostas do processo com o controlador PI. Comparação entre as sintonias propostas nas Tabelas 1 e 2 para um degrau no setpoint.
Respostas do processo com o controlador PI. Comparação entre as sintonias propostas nas Tabelas 1 e 2 para um degrau no setpoint.

Como era de se esperar, o PI ajustado pela Tabela 2 apresentou o melhor desempenho.

A Figura 2 mostra o desempenho dessas duas sintonias para um degrau na perturbação de carga (os controladores foram sintonizados pelas Tabelas 1 e 2, logo após aplicada uma perturbação na carga).

Figura 02 - Respostas do processo com o controlador PI. Comparação entre as sintonias propostas nas Tabelas 1 e 2 para uma perturbação de carga.
 Respostas do processo com o controlador PI. Comparação entre as sintonias propostas nas Tabelas 1 e 2 para uma perturbação de carga.

Como era de se esperar, o PI ajustado pela Tabela 1 apresentou o melhor desempenho.

Nota: Na prática, na maioria dos casos deve-se buscar uma sintonia mais robusta para as malhas de controle, portanto aquelas obtidas para um degrau no setpoint (Tabela 2) costumam ser mais indicadas de modo geral.

A vantagem do método da integral do erro é que considera toda a curva de resposta do sistema, em vez de somente dois pontos, como é o caso do método do decaimento.

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