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Este método, assim como os estudados nas aulas anteriores, também considera que a dinâmica do processo pode ser representada por um modelo de 1a ordem com ganho K, constante de tempo τ (tau) e tempo morto θ (teta). Em Lopez et al. (1967), é descrito um método que minimiza os índices (IAE ou ITAE) para um problema do tipo regulador (perturbação de carga). Foram considerados sistemas com fator de incontrolabilidade entre 0 e 1. Como resultado do trabalho, foram obtidas as seguintes equações para sintonia dos controladores:
Kp=1k∗(A∗(θτB))As constantes A, B, C, D, E e F, para o caso regulador, são obtidas de acordo com o controlador desejado e com o critério que deve ser minimizado. A Tabela 1 apresenta essas constantes para o caso regulador.
Controlador | Critério | A | B | C | D | E | F |
PI | IAE | 0.984 | -0.986 | 0.608 | -0.707 | - | - |
PI | ITAE | 0.859 | -0.977 | 0.674 | -0.680 | - | - |
PID | IAE | 1.435 | -0.921 | 0.878 | -0.749 | 0.482 | 1.137 |
PID | ITAE | 1.357 | -0.947 | 0.842 | -0.738 | 0.381 | 0.995 |
Clique a seguir e assista a uma introdução complementar da abordagem do método da integral do erro.
Em Rovira et al. (1969), é descrito um método que minimiza o IAE e o ITAE para um problema do tipo servo (perturbação no setpoint - mudança na referência do sistema). As equações para o caso servo são mostradas a seguir.
Kp=1K∗(A∗(θτ)B)As constantes A, B, C, D, E e F, para o caso servo, são obtidas de acordo com o controlador desejado e com o critério que deve ser minimizado. A Tabela 2 apresenta essas constantes para o caso servo.
Controlador | Critério | A | B | C | D | E | F |
PI | IAE | 0.758 | 0.861 | 1.02 | -0.323 | - | - |
PI | ITAE | 0.586 | -0.916 | 1.03 | -0.165 | - | - |
PID | IAE | 1.086 | -0.869 | 0.740 | -0.130 | 0.348 | 0.914 |
PID | ITAE | 0.965 | -0.850 | 0.796 | -0.147 | 0.308 | 0.929 |
Seja um processo com a seguinte dinâmica: ganho estático (K) igual a 1, constante de tempo (τ) igual a 2 e tempo morto (θ) igual a 1. Considere um controlador PI, então a sintonia ótima para um degrau na perturbação de carga obtida pela Tabela 1 será (Critério ITAE):
Kp=1K∗(A∗θτB)=11∗(0.859∗12−0.977)=1.6908e
Ti=τ(C∗(θτ)ˆD)=2(0.674∗(12)−0.68)=1.8521A sintonia ótima deste PI para um degrau no setpoint obtida pela Tabela 2 será (Critério ITAE):
Kp=1K∗(A∗(θτ)B)=11∗(0.586∗(12)−0.916)=1.1057e
Ti=τ(C+D∗(θτ))=2(1.03+(−0.165)∗(12))=2.1108Nota-se, assim, que o cálculo dos parâmetros do controlador pela Tabela 2 é mais suave (mais robusta), pois dá origem a ganhos proporcionais menores e tempos integrais maiores. A Figura 1 mostra o desempenho dessas duas sintonias para um degrau no setpoint (os controladores foram sintonizados pelas Tabelas 1 e 2, logo após aplicado um degrau no setpoint).
Como era de se esperar, o PI ajustado pela Tabela 2 apresentou o melhor desempenho.
A Figura 2 mostra o desempenho dessas duas sintonias para um degrau na perturbação de carga (os controladores foram sintonizados pelas Tabelas 1 e 2, logo após aplicada uma perturbação na carga).
Como era de se esperar, o PI ajustado pela Tabela 1 apresentou o melhor desempenho.
Nota: Na prática, na maioria dos casos deve-se buscar uma sintonia mais robusta para as malhas de controle, portanto aquelas obtidas para um degrau no setpoint (Tabela 2) costumam ser mais indicadas de modo geral.
A vantagem do método da integral do erro é que considera toda a curva de resposta do sistema, em vez de somente dois pontos, como é o caso do método do decaimento.
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