Método da Integral do Erro

Este método, assim como os estudados nas aulas anteriores, também considera que a dinâmica do processo pode ser representada por um modelo de 1a ordem com ganho K, constante de tempo τ (tau) e tempo morto θ (teta). Em Lopez et al. (1967), é descrito um método que minimiza os índices (IAE ou ITAE) para um problema do tipo regulador (perturbação de carga). Foram considerados sistemas com fator de incontrolabilidade entre 0 e 1. Como resultado do trabalho, foram obtidas as seguintes equações para sintonia dos controladores:

$$ K_{p} = \frac{1}{k} * (A * (\frac{\theta}{\tau}^{B})) $$ $$ T_{i} = \frac{\tau}{(C * (\frac{\theta}{\tau})^{D})} $$ $$ T_{d} = \tau * (E * (\frac{\theta}{\tau})^F) $$

As constantes A, B, C, D, E e F, para o caso regulador, são obtidas de acordo com o controlador desejado e com o critério que deve ser minimizado. A Tabela 1 apresenta essas constantes para o caso regulador.

Tabela 1 - Tabela de constantes para sintonia do PID pelo método da integral do erro (caso regulador).
Fonte: Campos e Teixeira (2010).

Clique a seguir e assista a uma introdução complementar da abordagem do método da integral do erro.

Em Rovira et al. (1969), é descrito um método que minimiza o IAE e o ITAE para um problema do tipo servo (perturbação no setpoint - mudança na referência do sistema). As equações para o caso servo são mostradas a seguir.

$$ K_{p} = \frac{1}{K} * (A * (\frac{\theta}{\tau})^{B}) $$ $$ T_{i} = \frac{\tau}{(C + D * (\frac{\theta}{\tau}))} $$ $$ T_{d} = \tau * (E * (\frac{\theta}{\tau})^{F}) $$

As constantes A, B, C, D, E e F, para o caso servo, são obtidas de acordo com o controlador desejado e com o critério que deve ser minimizado. A Tabela 2 apresenta essas constantes para o caso servo.

Tabela 2 - Tabela de constantes para sintonia do PID pelo método da integral do erro (caso servo).
Fonte: Campos e Teixeira (2010).

Seja um processo com a seguinte dinâmica: ganho estático (K) igual a 1, constante de tempo (τ) igual a 2 e tempo morto (θ) igual a 1. Considere um controlador PI, então a sintonia ótima para um degrau na perturbação de carga obtida pela Tabela 1 será (Critério ITAE):

$$ K_{p} = \frac{1}{K} * (A * \frac{\theta}{\tau}^{B}) = \frac{1}{1} * (0.859 * \frac{1}{2}^{-0.977}) = 1.6908 $$

e

$$ T_{i} = \frac{\tau}{(C * (\frac{\theta}{\tau})ˆ{D})} = \frac{2}{(0.674 * (\frac{1}{2})^{-0.68})} = 1.8521 $$

A sintonia ótima deste PI para um degrau no setpoint obtida pela Tabela 2 será (Critério ITAE):

$$ K_{p} = \frac{1}{K} * (A * (\frac{\theta}{\tau})^{B}) = \frac{1}{1} * (0.586 * (\frac{1}{2})^{-0.916}) = 1.1057 $$

e

$$ T_{i} = \frac{\tau}{(C + D * (\frac{\theta}{\tau}))} = \frac{2}{(1.03 + (-0.165) * (\frac{1}{2}))} = 2.1108 $$

Nota-se, assim, que o cálculo dos parâmetros do controlador pela Tabela 2 é mais suave (mais robusta), pois dá origem a ganhos proporcionais menores e tempos integrais maiores. A Figura 1 mostra o desempenho dessas duas sintonias para um degrau no setpoint (os controladores foram sintonizados pelas Tabelas 1 e 2, logo após aplicado um degrau no setpoint).

Como era de se esperar, o PI ajustado pela Tabela 2 apresentou o melhor desempenho.

A Figura 2 mostra o desempenho dessas duas sintonias para um degrau na perturbação de carga (os controladores foram sintonizados pelas Tabelas 1 e 2, logo após aplicada uma perturbação na carga).

Como era de se esperar, o PI ajustado pela Tabela 1 apresentou o melhor desempenho.

A vantagem do método da integral do erro é que considera toda a curva de resposta do sistema, em vez de somente dois pontos, como é o caso do método do decaimento.