Equação de Bernoulli

As equações de Bernoulli determinam a relação entre a velocidade do fluido (v), a pressão do fluido (P), a massa específica do fluido (ρ), a gravidade (g) e a altura (h) de pontos fixos em uma tubulação de área de seção variável (ver Figura 2).

A equação de Bernoulli é descrita como:

$$P_1 + \frac{1}{2} \times ρ \times v^{2}_{1} + ρ \times g \times h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \times \ ρ \times v_{2}^{2} + \ ρ \times g \times h_2$$

A maioria dos instrumentos de pressão diferencial utilizam uma equação simplificada para relacionar a vazão a diferença de pressão medida entre o tubo sem e com restrição . Dado um tubo como mostrada na figura 3.

Utilizando-se a equação da continuidade conjuntamente com a equação de Bernoulli, podemos deduzir tal equação simplificada com se segue:

$$v_1 \times A_1 \times ρ = v_2 \times A_2 \times ρ$$

Como $ρ$ é comum aos dois lados pois se trata de uma constante, podemos eliminá-lo e isolar tudo em função de $v_2$:

$$v_2 = v_1 \times \frac{A_1}{A_2}$$

Reequacionando Bernoulli:

$$P_1 + \frac{1}{2} \times ρ \times v_{1}^{2} + ρ \times g \times h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \times ρ \times v_{2}^{2} + ρ \times g \times h_2$$ $$\frac{1}{2} \times ρ \times v_{1}^{2} + ρ \times g \times h_1 - \frac{1}{2} \times ρ \times v_{2}^{2} - ρ \times g \times h_2 = P_2 - P_1$$

Como as alturas dos pontos de medição num tubo horizontal são as mesmas, temos que $h_1 = h_2$, assim, podemos eliminar os termos correspondentes ficando com:

$$\frac{ρ \times v_{1}^{2}}{2} - \frac{ρ \times v_{2}^{2}}{2} = P_2 - P_1$$ $$\frac{ρ}{2} \times (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) = P_2 - P_1$$ $$v_{1}^{2} - v_{2}^{2} = \frac{2}{ρ} \times (P_2 - P_1)$$

Substituindo $v_2$ temos:

$$v_{1}^{2} - v_{1}^{2} \times \frac{A_{1}^{2}}{A_{2}^{2}} = \frac{2}{ρ} \times (P_2 - P_1)$$

Botando $v_1^2$ em evidência:

$$v_{1}^{2} \times (1 - \frac{A_1^2}{A_2^2}) = \frac{2}{ρ} \times (P_2 - P_1)$$ $$v_{1}^{2} \times (\frac{A^{2}_{2} - A_{1}^{2}}{A_{2}^{2}}) = \frac{2}{ρ} \times (P_2 - P_1)$$

Mas temos que:

$$Q = v \times A$$

Logo:

$$Q_1 = v_1 \times A_1$$ $$v_1 = \frac{Q_1}{A_1}$$

Substituindo $v_1$ temos:

$$\frac{Q^2_1}{A^2_1} \times \left(\frac{A^2_2 - A^2_1}{A^2_2}\right) = \frac{2}{ρ} \times (P_2 - P_1)$$ $$Q^2_1 \times \frac{2}{ρ} \times \left(\frac{A^2_2 - A^2_1}{A^2_1 \times A^2_2}\right) = (P_2 - P_1)$$

Isolando $Q_1^2$:

$$Q^2_1 = \frac{2}{ρ} \times \frac{A^2_1 \times A^2_2}{A^2_2 - A^2_1} \times (P_2 - P_1)$$

Multiplicando a fração das áreas por (-1) tanto no numerador quanto no denominador teremos:

$$Q^2_1 = \frac{2}{ρ} \times \frac{A^2_1 \times A^2_2 \times (-1)}{(A^2_2 - A^2_1) \times (-1)} \times (P_2 - P_1)$$ $$Q^2_1 = \frac{2}{ρ} \times \frac{A^2_1 \times A^2_2 \times (-1)}{A^2_1 - A^2_2} \times (P_2 - P_1)$$

Utilizando o (-1) do numerador com as pressões teremos:

$$Q^2_1 = \frac{2}{ρ} \times \frac{A^2_1 \times A^2_2}{A^2_1 - A^2_2} \times (P_1 - P_2)$$

Mas temos que:

$$\Delta P = P_1 - P_2$$

Logo:

$$Q^2_1 = \frac{2}{ρ} \times \frac{A^2_1 \times A^2_2}{A^2_1 - A^2_2} \times \Delta P$$

Como $Q_1$ é a vazão do tubo antes da restrição, então $Q_1 = Q$ e assim obtemos $Q$ como:

$$Q_1 = Q = \sqrt{\frac{2}{ρ} \times \frac{A^2_1 \times A^2_2}{A^2_2 - A^2_1}} \times \sqrt{\Delta P}$$

Mas como a primeira raiz possui apenas termos constantes (áreas e o ρ) então chamamos essa raiz de :

$$k = \sqrt{\frac{2}{ρ} \times \frac{A^2_1 \times A^2_2}{A^2_2 - A^2_1}} = (constante)$$

Simplificando a equação toda para:

$$Q = k \times \sqrt{\Delta P}$$

Esse valor de K pode ainda agregar outras particularidades referentes a construção dos tubos, posição das tomadas de medição ou tipos de medidores diferenciais. Cada um dos casos deve ser avaliado para se calcular corretamente essa constante.