3.3.Ângulo entre retas

Duas retas que não sejam paralelas nem perpendiculares formam quatro ângulos, dois agudos de mesma medida e dois obtusos, também de mesma medida. Dessa forma, para conhecer cada um desses ângulos basta encontrar a medida de um deles.

Na figura 7 denotamos por $\alpha$ os ângulos agudos e por $\beta$ os ângulos obtusos. A soma $\alpha + \beta$ resulta em 180°, ou seja, $\alpha$ e $\beta$ são ângulos suplementares.

Para determinar o ângulo formado entre duas retas devemos avaliar algumas situações. Se uma reta $r$ é paralela ao eixo $x$, o ângulo formado entre essa reta e outra reta $s$ é o mesmo formado entre $s$ e o eixo $x$, como podemos visualizar na figura 7.

Vimos que o coeficiente angular $m_s$ de $s$ será, então,

e, assim, é possível encontrar facilmente o ângulo entre $r$ e $s$, que será o ângulo cuja tangente é igual ao coeficiente angular da reta $s$. Se esse $m_s$ for maior que zero, como na Figura 8, estaremos determinando o ângulo agudo entre as retas. Se $m_s$ for menor que zero, como na Figura 9, estaremos determinando o ângulo obtuso entre as retas.

Outra possível situação é o caso em que a reta $r$ é paralela ao eixo $y$.

Se o ângulo $\beta$ que a reta $s$ forma com o eixo $x$ é agudo, para determinar o ângulo $\alpha$ entre $r$ e $s$ basta observar que $\alpha + \beta = 90°$, onde $\beta$ é o ângulo que $s$ forma com o eixo $x$. Nessa situação o coeficiente angular $m_s$ da reta $s$ é sempre um número positivo.

Note que

Por outro lado, se o ângulo que a reta $s$ forma com o eixo $x$ é obtuso, temos a situação mostrada na Figura 11. Nessa situação o coeficiente angular $m_s$ da reta $s$ é sempre um número negativo.

Nesse caso

Quando as duas retas são perpendiculares, ou seja, formam um ângulo de 90º , teremos uma reta vertical e outra horizontal, ou então $m_r \cdot m_s = -1$. E se quisermos determinar o ângulo entre duas retas $r$ e $s$ e nenhuma delas é paralela a um dos eixos coordenados ou perpendiculares entre si? Essa situação está ilustrada na Figura 12.