3. Retas e ângulos

3.1. Inclinação da reta

A partir de dois pontos quaisquer pertencentes a uma reta não vertical, podemos encontrar o coeficiente angular $m$ dessa reta. O coeficiente angular $m$ de uma reta é igual à tangente do ângulo de inclinação dessa reta em relação ao eixo das abscissas, medido em sentido anti-horário a partir desse eixo. Esse conceito deverá ficar mais claro a partir da imagem abaixo:

Em ambas as imagens acima o ângulo que a reta forma com o eixo $x$, ou eixo das abscissas medido em sentido anti-horário, está representado pela letra grega $\theta$. Dizemos, então, que o coeficiente angular de cada uma delas é $m = tg \ \theta$.

Como podemos, então, calcular esse coeficiente? E que relação ele tem com as equações da reta?

Dados dois pontos podemos facilmente calcular o coeficiente angular da reta determinada por eles. Sabendo que, em um triângulo retângulo, a medida da tangente de um ângulo $\theta$ é igual à razão entre as medidas do cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo, a figura abaixo nos aponta o que devemos fazer para calcular o coeficiente angular da reta que passa por $P_1$ e $P_2$.

Na figura, o ponto $P_1$ tem coordenadas $(x_1,y_1)$ e $P_2$ tem coordenadas $(x_2,y_2)$. A reta que passa pelos dois pontos forma com o eixo $x$ um ângulo $\theta$. Para calcular a tangente de $\theta$ basta considerarmos o triângulo com vértices nos pontos $P_1$,$P_2$ e no ponto $(x_2,y_1)$.

Ao encontrar a equação reduzida da reta que passa pelos pontos $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$, o coeficiente angular é exatamente a constante que multiplica o $x$ naquela equação. Podemos reescrever, então, a equação reduzida da reta como

onde $b$ é o valor no qual a reta corta o eixo $y$ (verifique!). O valor de $b$ é conhecido como coeficiente linear da reta.

Na construção abaixo você poderá visualizar o que ocorre com a reta à medida que variamos seus coeficientes linear e angular.