1.2. Retas não paralelas aos eixos

Uma reta qualquer é representada algebricamente por uma equação do tipo $ax + by + c = 0$. Nessa equação, os valores de $x$ e $y$ são as coordenadas de um ponto qualquer dessa reta. Os valores de $a$, $b$ e $c$ são números reais quaisquer, desde que $a$ e $b$ não sejam simultaneamente iguais a zero.

Inicialmente, é importante lembrarmos que dois pontos quaisquer determinam uma reta. Assim, dados dois pontos podemos verificar se um terceiro ponto estará ou não nessa reta. É através desse conhecimento que escreveremos a equação de uma reta.

Vamos pensar um pouco: se os pontos $(1,2)$ e $(-2,1)$ determinam uma reta, o ponto $(3,4)$ pertence a essa reta?

Se três pontos $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$ estão alinhados, ou seja, estão todos dispostos ao longo de uma mesma reta, a matriz D abaixo deve ter determinante igual a zero.

Para verificar, então, se o ponto $(3,4)$ pertence à reta determinada por $(1,2)$ e $(-2,1)$, basta calcular o determinante abaixo:

Como o determinante resultou $-4$, um número diferente de zero, os pontos não estão todos em uma mesma reta.

Até aqui temos conhecimento de todas as informações necessárias para encontrar a equação de uma reta:

1. Sabemos que dois pontos determinam uma única reta;
2. Sabemos uma maneira de verificar se um terceiro ponto está na reta determinada pelos dois pontos.

Juntando essas informações, podemos encontrar, a partir de dois pontos dados, uma expressão algébrica que descreve todos os pontos os quais estão alinhados com eles. Para isso, basta que no cálculo do determinante o terceiro ponto ($(3,4)$ no nosso exemplo) seja substituído por $(x,y)$, uma representação generalista de um ponto qualquer no plano.

O determinante da matriz formada pelas coordenadas dos pontos dados, $x$ e $y$, deve ser zero, pois os pontos estão na mesma reta.

A equação da reta determinada pelos pontos $(1,2)$ e $(-2,1)$ pode ser encontrada pela equação abaixo:

Calculando o determinante, encontramos

$x - 3y + 5 = 0$.

A equação escrita dessa forma é chamada de equação geral da reta.

Não esqueça que $x$ e $y$ são coordenadas de um ponto qualquer dessa reta e, sendo assim, são valores variáveis.

Outra forma de expressar a equação da reta é escrevendo a variável $y$ em função da variável $x$, ou seja, isolando o $y$. Fazendo isso na equação do exemplo acima, obtemos

Essa equação é chamada de equação reduzida da reta.

Agora, observe os passos a seguir que serão feitos a partir da equação geral dessa mesma reta:

$x – 3y + 5 = 0$
$x + 5 = 3y$

A partir dessa igualdade podemos escrever cada variável em função de um parâmetro, que nesse caso chamaremos de t.

Faremos

$x + 5 = 3y = t$
$x + 5 = t$ e $3y = t$

Então,

$x = t – 5$ e $y = \frac{t}{3}$

No exemplo acima temos

É importante perceber que, em diversas aplicações, o parâmetro pode estar representando qualquer grandeza, como o tempo, por exemplo. Assim, uma reta parametrizada pode representar a trajetória de um personagem ou objeto ao longo do tempo.

É possível também parametrizar apenas um segmento de reta ou uma semirreta. Nesses casos o parâmetro t assume valores em um intervalo pré-determinado contido na reta real, e não em toda a reta.

Para parametrizar um segmento de reta, utilizamos as mesmas equações (1) e (2) e fazemos $t$ variar no intervalo que vai de 0 até 1.

Já para parametrizar uma semirreta que parte de $(x_0,y_0)$ em direção a $(x_1,y_1)$, o parâmetro t deverá assumir apenas valores não negativos, ou seja, o menor valor que t assume deverá ser zero e quando $t=0$, $(x,y)=(x_0, y_0)$.

A parametrização dada pelas equações (1) e (2) faz o ponto percorrer a reta, o segmento ou a semirreta no sentido de $(x_0,y_0)$ em direção a $(x_1,y_1)$. Devemos, então, levar em consideração o sentido que desejamos obter no movimento ao definir qual será o ponto $(x_0,y_0)$ e qual será o ponto $(x_1,y_1)$.

As equações paramétricas (de retas e também de outros objetos geométricos) são largamente utilizadas para descrever trajetórias, pois descrevem de maneira direta a mudança na posição de um objeto a partir da variação do parâmetro $t$ que pode ser, como já dito, a representação do tempo.

É importante notar que não há apenas uma equação paramétrica para uma reta. As equações geral e reduzida são únicas e determinadas pelos coeficientes $a_1,b_1$ e $c_1$ na equação geral, e $a_2$ e $b_2$ na equação reduzida. Na atividade abaixo veremos duas possíveis maneiras de escrever a equação paramétrica da reta.

Exercício Resolvido

Vamos observar a reta a seguir e escrever as equações: geral, reduzida e paramétrica.

Primeiro vamos considerar dois pontos quaisquer dessa reta, por exemplo, $A = (0,-2)$ e $B = (1,0)$. Seja $(x,y)$ um ponto qualquer dessa reta, então, o determinante a seguir deve ser igual a zero:

Calculando o determinante, obtemos a equação geral da reta:

Isolando o $y$ na equação acima, obtemos a equação reduzida da reta:

Fazendo $y=2 x-2=t$, obtemos equações paramétricas da reta:

Poderíamos também obter outra parametrização para essa mesma reta seguindo os passos abaixo:

$\frac{1}{2}y=2x-1=t$, obtemos