3. Escala

As transformações de escala modificam as dimensões dos objetos, isto é, fazem objetos crescerem ou diminuírem em determinadas direções.

Podemos transformar um objeto inteiro, proporcionalmente, por um fator de $k$, dilatando esse objeto com relação à origem. O resultado disso seria um objeto idêntico ao original com tamanho diferente. Essa é a chamada escala uniforme, que preserva ângulos e proporções. Os comprimentos aumentam ou diminuem por um fator de $k$ e as áreas aumentam ou diminuem por um fator de $k^2$.

Se, por outro lado, queremos esticar ou achatar um objeto, devemos aplicar uma escala com fatores diferentes em direções diferentes, o que resulta em uma escala não uniforme. Uma escala não uniforme não preserva ângulos, e a variação de comprimentos e áreas depende da direção em que a escala foi aplicada.

O resultado da transformação depende intrinsecamente do fator de escala, que consideraremos ser sempre um número positivo. Se $k\gt1$, os objetos transformados serão maiores que os originais na direção em que for aplicada a transformação. Se $k<1$, os objetos transformados serão menores que os originais na direção em que for aplicada a transformação.

A maneira mais simples de efetuar uma transformação de escala é ao longo dos eixos coordenados. Uma escala de parâmetro $k$ ao longo do eixo $x$ transforma o vetor $(1, 0)$ da base em um vetor de mesma direção e sentido com norma igual a $k$. Sabemos que

O vetor resultante da escala por um fator $k$ do vetor $(1, 0)$ é, então, o vetor $k (1, 0) = (k, 0)$.

Então, a matriz

realiza uma transformação de escala ao longo do eixo $x$ por um fator de $k$.

A Figura 8 abaixo mostra a imagem de um personagem sobre o plano cartesiano. Acrescentamos uma caixa em volta do personagem para melhor identificarmos a mudança nas suas dimensões.

Ao realizar a transformação de escala ao longo do eixo com $k=2$, dada pela matriz

obtemos a imagem da Figura 9 abaixo.

Note que nada se altera na direção do eixo $y$, fato já esperado uma vez que a segunda coluna da matriz é igual ao segundo vetor da base canônica.

Para realizar uma transformação de escala na direção do eixo $y$ o procedimento é análogo. A matriz dessa transformação será

para algum $k>0$.

Fazendo $k=2$ e aplicando a transformação na imagem da Figura 8, obtemos o resultado exposto na Figura 10.

Essas duas transformações que abordamos até agora são não uniformes, uma vez que mantém a escala em uma direção e a altera na outra.

Uma transformação uniforme de escala é dada pela matriz

para algum $k>0$.

Podemos ver na Figura 11 o resultado da transformação uniforme, para $k=2$, aplicada na imagem da Figura 8.

É possível, também, escalar nas direções dos eixos com fatores diferentes com matrizes do tipo

para $k_x>0$ e $k_y>0$.

Sempre que $k_x $ e $k_y$ forem iguais, teremos uma transformação uniforme.

A Figura 12 mostra o resultado da transformação de escala da Figura 8 realizada pela matriz

onde $k_x = 3$ e $k_y=2$.

A transformação de escala muitas vezes é utilizada para dar a impressão de proximidade, aumentando um objeto, ou distanciamento, o diminuindo, dentre muitas outras aplicações.

Uma mudança de escala é capaz de deformar objetos, achatando-os ou esticando-os. Basta que a escala seja não uniforme. Essa transformação, então, não é de corpo rígido como a rotação.