2. Rotação

Na aula 10 da disciplina de Matemática Aplicada do Módulo Básico nós tivemos o primeiro contato com matrizes que geravam uma rotação. Nesta aula desenvolveremos melhor essa ideia.

Como estamos trabalhando em duas dimensões, existe apenas um tipo de rotação a ser abordada: a rotação em torno de um ponto. Além disso, como a rotação é uma transformação linear, ela preserva o vetor nulo. Ou seja, a transformação aplicada no vetor nulo resulta nele mesmo. Portanto afirmamos que em duas dimensões a única rotação que pode ser executada é a rotação em torno da origem. Dessa forma temos apenas um parâmetro para essa transformação, o ângulo de rotação. Assim, esta é a convenção que utilizamos: a rotação cujo parâmetro é um ângulo positivo é realizada no sentido anti-horário e a rotação cujo parâmetro é um ângulo negativo é realizada no sentido horário.

Como podemos, então, construir uma matriz que realiza uma rotação? A Figura 5 abaixo nos mostra os vetores da base rotacionados por um ângulo $\theta > 0$. Como os vetores da base possuem norma igual a um e uma rotação não interfere na escala desses vetores, os vetores abaixo também são vetores unitários.

Para encontrar a matriz que realiza essa rotação basta encontrarmos as coordenadas dos pontos $A$ e $B$ mostrados na figura.

Mas isso pode ser feito facilmente apenas conhecendo o ângulo $\theta$.

Temos que

onde $A= (x_A, y_A)$ e $B=(x_B,y_B)$.

Sabemos que os vetores da Figura 5 têm componentes iguais às coordenadas dos pontos A $A$ e B $B$ e sabemos que a matriz de uma transformação tem suas colunas iguais aos vetores resultantes da transformação dos vetores da base. Portanto, a matriz de uma rotação cujo parâmetro é o ângulo $\theta$ é