1. Transformações

Nas aulas 04 e 05 da disciplina de Matemática Aplicada do módulo básico nós aprendemos o que são matrizes, como são representadas, como efetuar operações entre matrizes e algumas aplicações do conceito.

Na aula passada estudamos o conceito de vetor de maneira restrita. Como foi dito na oportunidade, esse conceito é muito mais abrangente que o abordado no escopo dessa disciplina. Matrizes, por exemplo, também são vetores. E um vetor pode ser visto também como uma matriz linha ou coluna, dependendo de sua representação ser horizontal ou vertical, respectivamente.

Nesta aula nos preocuparemos com o real significado que uma matriz carrega, geometricamente falando. Essa interpretação geométrica que será introduzida a respeito das matrizes é essencial para entender o tipo de transformação que uma dada matriz realiza sobre o plano cartesiano.

A transformação de um vetor é obtida através do produto da matriz que a representa pelo vetor. Aqui nos referimos ao produto de matrizes, com a matriz $ 2 × 2$ sempre à esquerda e o vetor representado como uma matriz coluna. Se uma determinada matriz representa uma rotação de 45°, por exemplo, multiplicá-la por um vetor resultará no vetor rotacionado 45°.

Mas como saber qual é a cara da transformação? Qual a relação entre uma mudança visível em objetos do plano (como rotações e alterações na escala) e os quatro números que aparecem dentro de uma matriz $2 \times 2$? Como podemos construir uma matriz que realize uma determinada transformação?

Para que possamos responder a essas perguntas vamos verificar o que ocorre com os vetores $(1, 0)$ e $(0, 1)$ quando os multiplicados por uma matriz $2 \times 2$ qualquer:

Os resultados acima nos dizem que a primeira coluna de uma matriz carrega o vetor resultante da transformação que ela representa aplicada sobre o vetor $(1, 0)$ e a segunda coluna carrega o vetor resultante da transformação aplicada sobre o vetor $(0, 1)$.

Sabendo o que ocorre com os vetores da base do espaço, saberemos tudo o que precisamos a respeito da transformação. Isso porque qualquer outro vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base. Veja o que ocorre ao multiplicarmos uma matriz $2 \times 2$ por um vetor qualquer $ \vec{u} = \left[\begin{array}{cc} a \\ b \end{array} \right] : $

O produto acima resulta em uma combinação linear das colunas da matriz da transformação com coeficientes iguais às componentes do vetor $\vec{u} $. Podemos perceber que uma transformação muda os vetores da base e, assim, muda todos os outros vetores do espaço.

Agora ficou mais simples de entender que tipo de transformação uma matriz representa, não é verdade? A Figura 1 mostra em a) os vetores da base, que chamamos de $\vec{e_1}$ e $\vec{e_2}$ e um paralelogramo formado por segmentos paralelos a eles. Em b) temos os vetores (e o paralelogramo) transformados pela matriz $A = \left[ \begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right]. $ Note que os vetores $\vec{e’_1}$ e $\vec{e’_2}$ são as colunas da matriz $A$.

Se posicionarmos uma imagem dentro do paralelogramo a transformação pode ficar mais clara, como observado na Figura 2 a seguir.