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arrow_back Aula 05 - Transformações

Exercício resolvido

Um triângulo tem vértices na origem e nos pontos $ (2, 0)$ e$ (1, 2)$. Encontre os vértices desse triângulo após realizar sobre ele uma rotação de 45°.

A Figura 6 abaixo mostra o triângulo que devemos rotacionar.

Triângulo sobre o qual aplicaremos uma rotação.

Podemos perceber nessa figura que um dos vértices do triângulo coincide com a origem. Sabemos que uma transformação linear preserva a origem, então nada temos que fazer com relação a esse ponto. Para realizar a rotação sobre o triângulo precisamos aplicar a transformação sobre o vetores $\vec{u} = \left[\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right]$ e $\vec{u} = \left[\begin{array}{cc} 1 \\ 2\end{array} \right]$.

Mas primeiro precisamos obter a matriz da transformação.

$\left[ \begin{array}{cc} cos \theta & -sen \theta \\ sen \theta & cos \theta \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} cos 45\,^{\circ} & -sen 45\,^{\circ} \\ sen 45\,^{\circ} & cos 45\,^{\circ} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right] $

Agora, aplicaremos a transformação aos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$.

$\left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{2\sqrt{2}}{2} \\ \frac{2\sqrt{2}}{2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{1\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{array} \right]$

Os novos vértices do triângulo serão $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2})$ e $(0, 0)$. A Figura 7 mostra o triângulo rotacionado:

Triângulo rotacionado.

Note como a forma do triângulo não se altera. Apenas sua posição é alterada.

Uma transformação de corpo rígido é uma transformação que preserva distâncias e ângulos, ou seja, não altera a forma dos objetos transformados.

Assim, uma rotação é uma transformação de corpo rígido.

Atividade

Um quadrado tem vértices nos pontos $(1, 1), (2, 1), (2, 2)$ e $(1, 2)$. Encontre as coordenadas de seus vértices após uma rotação de 30° em torno da origem.

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