Apresentação

Na primeira aula desta disciplina tratamos de espaços orientados e especialmente do plano cartesiano, o qual nos permite localizar objetos a partir de um ponto fixo chamado de origem. As coordenadas de um ponto nos dizem exatamente qual é a sua localização relativa à origem do espaço orientado.

Nesta aula abordaremos situações semelhantes a essa. Para compreendê-las melhor precisamos relacionar o plano cartesiano com vetores, assunto abordado em nossa aula anterior.

Na aula 04 vimos que existe uma relação entre o ponto $(a, b)$ e o vetor $\vec{u} = (a, b)$. Cada ponto do plano está, então, relacionado a um vetor.

Além disso, note que qualquer vetor $\vec{u} = (a, b)$ de duas dimensões pode ser escrito na forma

A operação

chama-se combinação linear dos vetores $(1, 0)$ e $(0, 1)$, com coeficientes $a$ e $b$. Como qualquer vetor do espaço de duas dimensões, ou seja, do plano, pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores $(1, 0)$ e $(0, 1)$, dizemos que esses vetores geram esse espaço e formam uma base dele.

A base de um espaço é de extrema importância, mas não é única, pois existem outros pares de vetores que geram o plano. No entanto esses vetores são chamados de base canônica do espaço de duas dimensões, pois além de o gerarem, ambos são vetores unitários e ambos apontam no sentido positivo do sistema de eixo. Essas propriedades fazem deles os candidatos perfeitos para avaliarmos o que acontece com os objetos do espaço quando aplicamos sobre eles uma transformação.

Assim como as coordenadas cartesianas nos mostram a localização de pontos no plano a partir da origem do sistema, conhecer a base de um espaço de vetores nos dá uma referência a partir da qual devemos enxergar todos os outros vetores.

Como vocês podem perceber, esta aula fala sobre transformações. Em geral, qualquer matriz quadrada descreve uma transformação. Como estamos trabalhando com o espaço de dimensão 2, trabalharemos com matrizes quadradas $2 \times 2$ para a maioria das transformações aqui abordadas.