Comportamento dos sistemas dinâmicos

Para o estudo da automação de um processo interessa conhecer as relações existentes entre as variáveis de entrada e de saída (variáveis manipulada e controlada) quando não há variações no tempo, isto é, em condições de equilíbrio. As relações entre as variáveis, nas condições de equilíbrio, são as características estáticas. Assim, no processo representado na Figura 7, a cada vazão de entrada Q1, vai corresponder, depois de atingido o equilíbrio, um certo nível h (admitindo que não se atua na restrição R).

A relação representada por $h=f(Q1)$ (o nível depende apenas da entrada de fluxo) exprime uma das características estáticas do processo.

Nas relações que exprimem as características estáticas não entra a variável tempo.

Mas a cadeia de controle automático foi concebida para atuar quando as condições se desviam do equilíbrio. Interessa então, especialmente, conhecer a maneira como a variável controlada evolui ao longo do tempo quando há perturbações do equilíbrio do processo. Esses desvios do equilíbrio são devidos a alterações nos valores de uma ou mais variáveis de carga ou da própria variável manipulada. No caso do nosso exemplo, se a vazão Q1 passar bruscamente para um novo valor (é o que se chama perturbação em degrau) como é que a variável h vai variar ao longo do tempo até atingir um novo equilíbrio? Isto é, qual a forma da função: $h=f(Q1, t)$? (Equação que representa o nível h como uma função que depende da vazão de entrada Q1 e do tempo t.)

As equações e curvas que exprimem a evolução da variável controlada após uma perturbação são as características dinâmicas. O conhecimento do comportamento dinâmico, dos processos e dos restantes elementos da cadeia de controle é o problema fundamental do controle automático de processos.

Vamos imaginar outro exemplo, como mostrado a seguir na Figura 8:

Consideremos uma mola vertical presa em sua extremidade superior, conforme mostra a Figura 8. Ao aplicarmos uma força de intensidade F em sua extremidade livre, essa mola sofrerá uma deformação x, que representa a variação ocorrida em seu comprimento $(x=l−l_0)$.

Essa deformação é denominada elástica quando, retirada a força, a mola retorna ao seu comprimento original ($l_0$). Robert Hooke, cientista inglês, verificou experimentalmente que, em regime de deformações elásticas, a intensidade da força aplicada à mola é diretamente proporcional à deformação produzida. Isto é, se duplicarmos a intensidade da força aplicada à mola, sua deformação dobrará, e assim por diante enquanto a deformação for elástica.

Podemos sintetizar a lei de Hooke pela seguinte expressão:

$$ F = K \times x $$

onde K é uma constante de proporcionalidade característica da mola, chamada constante elástica da mola. Sua unidade no SI (Sistema Internacional de Unidades) é Newton por metro (N/m). A força F é dada em Newton e a deformação da mola é dada em metros. Para ilustrar melhor, observemos um gráfico que relaciona a Força com a deformação da mola na Figura 9.

O sistema descrito é chamado de sistema estático (não depende do tempo). Em um sistema estático, o valor da sua saída depende apenas do valor da sua entrada no instante atual. Consideraremos a entrada do sistema como sendo a força com que a mola é puxada e a saída a sua deformação. A deformação da mola em um instante qualquer independe da sua deformação em instantes passados. A definição analítica de sistemas dinâmicos é algo, no nosso contexto, um pouco difícil, pois alguns conceitos matemáticos necessários não são trabalhados no ensino médio. O conceito de derivada (ferramenta matemática utilizada no estudo das variações das funções) ajuda a definir melhor os sistemas dinâmicos.

Em linhas gerais, um sistema dinâmico é aquele em que, o valor da sua saída no instante atual depende dos valores passados das suas entradas e saídas. Se desenhássemos o gráfico da deformação da mola (sistema estático) em relação ao tempo, considerando uma força constante de entrada, teríamos um gráfico como apresentado a seguir:

Todo e qualquer sistema em que sua saída no instante atual dependa de entradas e saídas passadas, é considerado um sistema dinâmico. Vamos imaginar o seguinte sistema de nível mostrado na aula anterior (Figura 11):

Imaginemos duas situações possíveis:

Situação 1: Considere que a vazão de entrada Ve é fixa. Vpt é a vazão para o tanque controlada pela válvula de controle (atuador) de acordo com sua abertura ou fechamento, cujo comando é advindo de um controlador (LIC). Imagine que o tanque está com 50% da sua capacidade de nível e com as vazões de entrada Vpt e saída Vs constantes para uma abertura da válvula de 30%. Se aumentarmos um pouco a abertura da válvula, digamos para 40%, isso implica em aumentar a vazão para o tanque e o nível aumentará um pouco até alcançar um novo estado de equilíbrio. A válvula na tubulação funciona como uma resistência à passagem do fluído.

Situação 2: Suponha que o tanque está totalmente vazio e, abruptamente, sua vazão de entrada Vpt aumente para um determinado valor. Isso equivale a dar um comando em degrau na abertura da válvula (entre 0-100%) que estava totalmente fechada. Com o passar do tempo (regime permanente) considere que para este processo, a vazão de entrada Vpt será igual à vazão de saída Vs, e o nível do tanque se manterá em equilíbrio (o nível será constante).

Agora, se fizermos a seguinte pergunta: o comportamento da saída do tanque será igual nas duas situações? A resposta é não. Isso se deve ao fato de que o sistema é dinâmico, ou seja, ele depende dos seus estados atuais/anteriores.