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Até agora vimos como calcular valores de uma grandeza G1 em função do valor de outra grandeza G2 a qual G1 é diretamente ou inversamente proporcional. É comum, no entanto, que o valor de uma grandeza não dependa de apenas uma outra, mas sim de várias outras. Considere, por exemplo, o problema a seguir.
Com um quadro de 20 funcionários, cada qual trabalhando 6 horas por dia, uma determinada fábrica produz 450 unidades diárias de um produto. Quantos funcionários serão necessários para produzir o dobro de produtos se a carga horária diária aumentar para 8 horas?
Nesse problema, sabemos que a produção da fábrica (G1) depende do número de funcionários (G2) e do número de horas de trabalho diárias (G3) de cada funcionário, ou seja, de duas grandezas diferentes. Sabemos também que (pelo menos em teoria) quanto mais funcionários trabalharem, maior deve ser a produção da fábrica e quanto mais horas cada um trabalhar, também maior deve ser essa produção. Ou seja, a produção parece ser diretamente proporcional ao número de funcionários e diretamente proporcional ao número de horas diárias de trabalho. Mas, o que queremos saber é o número de funcionários necessários para atender o problema. Então, pense bem:
Se mantivermos o número de produtos e aumentarmos a carga horária dos funcionários, serão necessários mais ou menos funcionários?
De novo, existem 2 maneiras diferentes de resolver o problema, mas, antes de apresentá-las, vamos ver as definições que mostram que podemos efetivamente chamar essas grandezas de diretamente (ou inversamente) proporcionais, mesmo que aumentar uma delas não implique sempre em aumentar (ou diminuir, respectivamente) a outra, por causa das outras grandezas envolvidas.
Se o valor de uma grandeza G depende do valor de outras grandezas (G1 a Gn), dizemos que G é diretamente proporcional a G1 se, ao fixarmos os valores das outras grandezas relacionadas, temos uma proporção direta entre G e G1:
Nesse caso, a constante de proporcionalidade depende do valor correspondente a todas as outras grandezas G2 a Gn. Ou seja, para cada combinação de valores para G2 a Gn temos uma constante de proporcionalidade específica para aquela combinação.
Se o valor de uma grandeza G depende do valor de outras grandezas (G1 a Gn), dizemos que G é inversamente proporcional a G1 se, ao fixarmos os valores das outras grandezas relacionadas, temos uma proporção inversa entre G e G1:
Como na proporção direta, para cada combinação de valores para G2 a Gn temos uma constante de proporcionalidade específica para aquela combinação.
Voltemos agora ao nosso problema da fábrica e vejamos as duas maneiras que podemos usar para resolvê-lo.
Maneira 1: Nessa técnica, que corresponde à técnica de redução à unidade, reduzimos um problema de regra de três composta em vários passos de regra de três simples.
Primeiro podemos calcular a produção de um funcionário em uma hora. Se 20 funcionários em 6h produzem 450 produtos, podemos ver que 1 funcionário, no mesmo tempo, deve produzir 450/20 produtos. Isso pode ser visto através de uma regra de três direta, dado que quanto menor o número de funcionários, menor o número de produtos:
Então sabemos que cada funcionário produz, em média, 22,5 produtos em 6 horas. Para saber quantos ele produz em 1 hora, faremos nova regra de três direta (pois quanto menos horas, menos produtos serão produzidos).
Se pensarmos que a grandeza a ser usada como referência para calcular a produção da fábrica é uma hora de um funcionário (que aliás é uma unidade que não pertence ao SI (Sistema Internacional de Unidades), mas é muito usada e conhecida pelo nome de homem-hora), temos agora uma proporção direta entre essa nova grandeza e a produção que nos permite usar uma regra de três simples e 3,75 é a nossa constante de proporcionalidade:
Isso significa que precisamos de 240 horas de trabalho a serem divididas entre os n funcionários de que a fábrica precisa para produzir os 900 produtos. Então, temos:
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