Atividade 01

Um grupo de amigos foi a uma loja de conveniência e comprou barras de chocolate que serão divididas igualmente entre eles. A quantidade de barras de chocolate compradas foi tal que, se o grupo fosse composto por cinco amigos, cada um ficaria com 4 barras de chocolate, ao passo que cada amigo ficaria com 2,5 barras de chocolate se o grupo fosse de oito amigos. Monte a equação que corresponde à proporção existente entre o número de amigos e ao número de barras de chocolate por amigo, deixando claro quanto vale a constante de proporcionalidade. Por fim, indique quantas barras de chocolate foram compradas pelo grupo de amigos.

Regra de três simples

Você percebeu como as razões matemáticas aparecem naturalmente e frequentemente em nosso cotidiano? Identifique outras razões matemáticas comuns à sua rotina e anote-as. Para cada uma delas, indique a grandeza e unidade de medida do antecedente e do consequente.

Se duas grandezas se relacionam por meio de uma função de proporcionalidade $f$, dados os valores de três dos números $x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$, onde $f(x_1) = y_1$ e $f(x_2) = y_2$ , podemos utilizar a proporcionalidade para determinar o quarto valor. Esse método de resolução é conhecido como regra de três.

Regra de três direta

Quando as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, dizemos que temos um problema de regra de três direta. Nesse caso, temos a proporção $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$ , ou seja, $y_1$ está para $x_1$, assim como $y_2$ está para $x_2$. Com 3 desses valores conhecidos, para encontrar o quarto valor. Existem duas formas comuns e no fundo, bastante parecidas, de se resolver o problema da regra de três direta, descritas a seguir.

1. Como

   $$\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$$

   multiplicando ambos os termos da igualdade por $x1 \cdot x2$ (isso é o famoso procedimento matemático conhecido como “multiplicação os meios pelos extremos” ou “multiplicação em X), obtemos

   $$y_1 \cdot x_2 = y_2 \cdot x_1$$

   Se, por exemplo, $x_1$ é o termo desconhecido na proporção, então, isolando $x_1$, temos

   $$x_1 = y_1 \cdot \frac{x_2}{y_2}$$

   Finalmente, substituindo os valores conhecidos para $x_2$, $y_1$ e $y_2$, calculamos então o valor de $x_1$.

   Observe que em um problema real onde se conhecem 3 dos valores da equação $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$ , o cálculo a ser feito é mais simples do que parece, já que nesse momento você poderá substituir os valores disponíveis, restando apenas uma incógnita a ser isolada.

2. No método chamado de redução à unidade, primeiro utilizamos a razão cujos termos conhecemos para encontrar a constante de proporcionalidade q. Em seguida, calculamos o antecedente (ou consequente) procurado a partir de q e de seu consequente (ou antecedente, respectivamente). Por exemplo, se $x_1$ é o termo desconhecido na proporção

   $$\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$$

   calculamos a constante de proporcionalidade

   $$q = \frac{y_2}{x_2}$$

   e, em seguida, a utilizamos na expressão

   $$\frac{y_1}{x_1} = q$$

   o que dá

   $$ y_1 = q \cdot x_1$$

   e por fim,

   $$ x_1 = \frac{y_1}{q}$$