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arrow_back Aula 03 - Potenciação

Potência de Potências

Se Liga!

Reveja o link sobre o Sistema Internacional de Unidades que vimos na Aula 1 no tópico Prefixos Oficiais do SI. e veja como a potenciação é usada para simplificar a escrita das grandezas.

Seja $a^n$ uma potência. Quanto valerá a nova potência de base $a^n$ e expoente $m$, denotada por $(a^n)^m$? De acordo com a definição, temos que:

$$(a^n)^m = \underbrace{(a^n) \cdot (a^n) \cdot (a^n) \cdots (a^n)}_{m \text{ vezes}}$$ $$=\underbrace{\underbrace{(a \cdot a \cdots a)}_{n \text{ vezes}} \cdot \underbrace{(a \cdot a \cdots a)}_{n \text{ vezes}} \cdots \underbrace{(a \cdot a \cdots a)}_{n \text{ vezes}}}_{m \text{ vezes}}$$

Logo, $(a^n)^m = a^{(n\cdot m)}$. A seguir, mostramos alguns exemplos desta propriedade.

$$\left(2^2\right)^3 = 2^6 = 64$$ $$\left(\left(2^3\right)^2\right)^4 = 2^{24} = 16777216$$

Perceba que as potências $(a^n)^m$ e $a^{n^m}$ são diferentes, pois na primeira potência primeiro resolvemos a potência $a^n$ para depois elevá-la à potência $m$, enquanto na segunda potência, primeiro calculamos a potência $n^m$ e, em seguida, utilizamos esse resultado como o expoente da base $a$. No exemplo a seguir, verificamos a diferença entre essas potências:

$$\left(2^3\right)^2 = 8^2 = 64 \neq 2^{(3^2)} = 2^9 = 512$$

Finalizaremos a aula apresentando um resumo das propriedades da potenciação de forma que você possa relembrá-las rapidamente. Não se preocupe em decorar essas propriedades, seu principal objetivo deve ser compreender as equivalências apresentadas para que seja simples aplicá-las quando necessário. A memorização dessas propriedades ocorrerá naturalmente com a prática.

Propriedades Expressões
Produto de potências de mesma base. $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
Divisão de potências de mesma base. $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
Produto de potências de mesmo expoente. $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$
Divisão de potências de mesmo expoente. $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$
Potências de potências. $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$
Tabela 1 - Propriedades da potenciação

Atividade 02

Aplique as propriedades da potenciação às seguintes expressões:

  1. $2 \cdot 4 \cdot 8$
  2. $\frac{3 \cdot 27}{9}$
  3. $(-5)^4 \cdot 3^4$
  4. $\frac{27}{8}$
  5. $(-8)^3$

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