Operações sobre Funções: Inversão e Composição

Até aqui vimos diversas maneiras de definir funções a partir de seus componentes: seus conjuntos de partida e chegada e seu mapeamento. No entanto, muitas vezes os problemas práticos que procuramos resolver como uso de funções nos levam a definir novas funções a partir de outras. Por exemplo, como podemos definir uma função que associa cada número inteiro $i$ ao número inteiro $i−1$ a partir da função $f$ que associa todo número inteiro $i$ ao número inteiro $i+1$? E como definir uma função que associa cada número inteiro ao triplo do seu quadrado, a partir da função que fornece o triplo de um número e a função que fornece o quadrado de um número? Usamos para isso, respectivamente, a inversão de funções e a composição de funções, como veremos a seguir.

Função Inversa

Dada uma função $f:X→Y$ a função inversa de $f$, quando ela existe, é a função $f^{−1}:Y→X$ composta pelo mapeamento obtido invertendo-se cada par da função $f$. Graficamente, a inversão corresponde a inverter o sentido de cada flecha do diagrama de $f$.

Por exemplo, a inversão da nossa função $code3$ leva a $code3^{−1}:{1,2,3,4,5}→VOGAIS$, tal que

$$ code3^{−1} = \{(1,“a”),(2,“e”),(3,“i”),(4,“o”),(5,“u”)\} $$

Pense um pouco, antes de ler a resposta a seguir, e veja se percebe por que a inversa nem sempre existe. Sempre podemos inverter as flechas do diagrama ou os pares da representação por enumeração dos pares do mapeamento, não? Que problemas podem acontecer, então?

Já pensou?

Se não conseguiu, não quer pensar mais um pouquinho?

Podemos continuar? Bom, vamos tentar inverter a função $code2$ ? Escreva os pares de $code2^{−1}$.

$$ code2^{−1} = \{(1,“a”),(2,“e”),(3,“i”),(4,“o”),(3,“u”)\} $$

Esse conjunto de pares corresponde a um mapeamento válido para uma função dos números naturais no conjunto VOGAIS? Não. Por quê? Pois o número 3 possui duas vogais diferentes associadas a ele,

$$ (3,“i”),(3,“u”) $$

e isso contraria a definição de função, não é? O que mudou de $code3$ para $code2$ que fez com que essa regra fosse quebrada? Um primeiro problema que salta aos olhos é a injetividade: $code3$ é injetora ao passo que $code2$ não é.

Mas, na realidade, há um segundo problema. A função $code2$ tem como conjunto de partida o conjunto $VOGAIS={“a”,“e”,“i”,“o”,“u”}$ e como conjunto de chegada o conjunto dos números naturais ($\mathbb{N}$), ao passo que $code3$ tem como conjunto de chegada o conjunto ${1,2,3,4,5}$. Nesse caso, podemos ver que, mesmo que $code2$ fosse injetora, $code2^{−1}$ não seria uma função de $\mathbb{N}$ em $VOGAIS$, pois vários números naturais não teriam vogal associada a eles. Esse é exatamente o caso da função $code$, que também não tem inversa, pois sua imagem é diferente do seu conjunto de chegada, ou seja, ela não é sobrejetora.

Conclusão: apenas funções bijetoras possuem uma função inversa.