Material Didático

Divisão de Potências de Mesmo Expoente

Sejam $a^n$ e $b^n$ duas potências onde $a \neq b$ e $b \neq 0$ . Quanto vale a divisão $\frac{a^n}{b^n}$ ? Como sabemos que:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a }_{n \text{ vezes}} \text{ e } b^n = \underbrace{b \cdot b \cdot b \cdots b }_{n \text{ vezes}}$

Logo,

$\frac{a^n}{b^n} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a }^{n \text{ vezes}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot b \cdots b }_{n \text{ vezes}}} = {\underbrace{\left(\frac{a}{b}\right) \cdot \left(\frac{a}{b}\right) \cdot \left(\frac{a}{b}\right) \cdots \left(\frac{a}{b}\right) }_{n \text{ vezes}}} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$

Como exemplos da aplicação desta propriedade, considere as potências a seguir:

$\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \left(\frac{2^4}{3^4}\right)= \frac{16}{81}$

$\left(\frac{6}{4}\right)^3 = \left(\frac{6^3}{4^3}\right)= \frac{216}{64}$

$\left(\frac{1}{7}\right)^3 = \left(\frac{1^3}{7^3}\right)= \frac{1}{343}$

E se o expoente da potência de base racional for um número negativo, como podemos resolver a potenciação? Com base em nossa discussão a respeito das potências de bases inteiras e expoentes inteiros negativos, resolveremos essas potências invertendo o racional correspondente à base e trocando o sinal do expoente, conforme mostrado nos exemplos a seguir:

$\left(\frac{5}{6}\right)^{-2} = \left(\frac{6}{5}\right)^2= \frac{36}{25}$

$\left(\frac{2}{7}\right)^{-3} = \left(\frac{7}{2}\right)^3= \frac{343}{8}$

$\left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{2}{1}\right)^4= \frac{16}{1}$

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