Material Didático

Divisão de Potências de Mesma Base

Dadas duas potências $a^n$ e $a^m$ , quanto vale a divisão $\frac{a^n}{a^m}$ ? Como dividir um número $x$ por um número $y$ equivale a multiplicar $x$ pelo inverso de $y$ , ou seja, $\frac{x}{y} = x \cdot (\frac{1}{y})$ , podemos escrever a divisão $\frac{a^n}{a^m}$ como $a^n \cdot \frac{1}{a^m}$ . Lembrando que $\frac{1}{a^m}$ equivale a $a^{-m}$ , conforme discutido anteriormente, podemos reescrever a divisão como:

$\frac{a^n}{a^m} = a^n \cdot \frac{1}{a^m} = a^n \cdot a^{-m} = a^{n+(-m)} = a^{n-m}$

Logo, $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ . Seguem-se alguns exemplos de uso dessa equivalência:

$\frac{2^4}{2^3} = 2^{4-3} = 2^1 = 2$

$\frac{10^4}{10^6} = 10^{4-6} = 10^{-2} = \frac{1}{100}$

Multiplicação de Potências de Mesmo Expoente

Sejam $a^n$ e $b^n$ duas potências. Quanto vale a multiplicação $a^n \cdot b^n$ ? Como sabemos que:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n\text{ vezes}}\ e\ b^n = \underbrace{b \cdot b \cdot b \cdots b}_{n\text{ vezes}}$

Então, podemos afirmar que

$a^n \cdot b^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n\text{ vezes}} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot b \cdots b}_{n\text{ vezes}}$

Como a multiplicação é uma operação associativa e comutativa, podemos reescrever $a^n \cdot b^n$ como:

$a^n \cdot b^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot(a \cdot b) \cdots (a \cdot b) }_{n\text{ vezes}}$

Logo, $a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$ .

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Note que, no caso em que $a=b$ , temos ()(). Por outro lado, conforme a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, teremos $a^n$ . Assim, $(a^2)^n=a^{2n}$ . Veremos mais detalhes sobre essa igualdade quando estudarmos Potências de potências.

A seguir, alguns exemplos de aplicação desta propriedade:

$\left(2^2\right) \cdot \left(3^2\right) = \left(2 \cdot 3\right)^2 = 6^2 = 36$

$\left(5^3\right) \cdot \left(2^3\right) = \left(5 \cdot 2\right)^3 = 10^3 = 1000$

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