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arrow_back Aula 03 - Potenciação

Propriedade das Potências

Agora, você vai conhecer importantes propriedades da potenciação. Essas propriedades serão úteis quando estivermos resolvendo problemas que envolvem potências, nos permitindo simplificar os cálculos.

Multiplicação de Potências de Mesma Base

Dadas duas potências $a^n$ e $a^m$, quanto vale a multiplicação $a^n$. $a^m$? Ora, pela definição, temos que:

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n\text{ vezes}}\ e\ a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{m\text{ vezes}}$$ $$a^n \cdot a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n+m\text{ vezes}}= a^{n+m} \cdot \text{ Por exemplo, } 2^3 \cdot 2^2 = 8 \cdot 4 = 32 = 2^5 = 2^{3+2}$$

Se liga!

Potências de expoente zero

Essa propriedade é uma justificativa para a adoção da convenção $a^0=1$ que vimos anteriormente, pois para que $a^0 \cdot a^m = a^{0+m} = a^m$, o valor de $a^0$ precisa ser $1$. Já a potência $0^0$ é em geral considerada como indefinida, o que é compatível com o fato que $0^0 = 0^1 \cdot 0^{-1} = 0 \cdot \left(\frac{1}{0^1}\right) = 0 \cdot \left(\frac{1}{0}\right)$, o que implicaria em uma divisão por zero. No entanto, é também possível encontrar referências que convencionam que $0^0 = 1$, como com as outras bases.

Potências de expoente inteiro negativo

Outra importante consequência dessa propriedade é a definição de potências de expoente negativo, que também vimos anteriormente: como para qualquer $n \in \Bbb{Z}$, temos que $n + (-n) = 0$, então, $a^n \cdot a^{-n} = a^{n+(-n)} = a^0 = 1$. Portanto, $a^{-n}$ é o inverso de $a^n$ , ou seja, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ . Como exemplo, considere as potências

$$(4)^{-3} = \frac{1}{(4)^3} = \frac{1}{64}$$ $$(32)^{-2} = \frac{1}{(32)^2} = \frac{1}{1024}$$

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