2.1 Descobrindo valores numéricos através da Probabilidade

Nesta seção, irei exemplificar como a descoberta de padrões pode funcionar. O mecanismo é similar, tanto para padrões de comportamento em jogos, como padrões numéricos. Veja a seguir como se faz a descoberta do valor de PI por esse mecanismo.

PI (ou $$ \pi $$) é uma constante numérica que representa a relação de proporção entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Essa constante é utilizada em vários cálculos, entre eles o da área de um círculo, cuja fórmula é $$ \pi.r^{2} $$, em que $$ r $$ é o tamanho de seu raio. Se você não souber o valor de $$ \pi $$, como poderá usar a probabilidade para calcular seu valor?

A ideia é simples. Sabe-se pela fórmula que um círculo de raio igual a 1 tem área igual a $$ \pi.r^{2}=\pi.1^{2}=\pi $$, e que a área de um quadrado envolvendo esse círculo é 4, pois, como o lado do quadrado é igual ao diâmetro do círculo, a área do quadrado é $$ I^{2}=2^{2}=4 $$. Na Figura 02 você pode ver a descrição desses elementos. Agora, pode-se achar o valor de $$ \pi $$ respondendo a seguinte questão: se for escolhido um ponto aleatório dentro do quadrado, qual a probabilidade de ele estar também dentro do círculo?

Como não se tem o valor de $$ \pi $$, pois o objetivo é calculá-lo, não se tem por enquanto uma resposta direta para o questionamento feito anteriormente. É preciso calcular essa probabilidade de forma dinâmica. Há uma relação entre a área do círculo e a área do quadrado que será útil nesse cálculo. Então, gere vários pontos aleatórios dentro do quadrado e conte quantos deles caem dentro do círculo. Quanto mais pontos gerar, mais precisa será a probabilidade calculada.

Para entender a relação, imagine que o número total de pontos gerados aleatoriamente seja $$ T $$ e o número de pontos que caíram dentro do círculo seja $$ C $$. A proporção definida pelo número de pontos que caíram no círculo e o total de pontos gerados $$ \frac{C}{T} $$ está diretamente associada à proporção entre a área do círculo e a área do quadrado. Denominando a área do círculo de $$ A_{c} $$ e a área do quadrado de $$ A_{q} $$, temos a relação:

Sabendo que é $$ \frac{C}{T} $$ a probabilidade de o ponto gerado estar dentro do círculo (relação entre número de eventos específicos e o total de eventos possíveis), a área do círculo é $$ \pi $$ e a do quadrado é 4, tem-se então a seguinte relação:

Ou seja, você pode calcular o valor de $$ \pi $$ multiplicando a probabilidade de o ponto estar dentro do círculo por 4. Não acredita? Então faça a atividade a seguir para conferir.