Conhecimentos Prévios Necessários (Pré-requisitos)

Quando se trabalha com um grande número de variáveis, é comum distingui-las pelo uso de números para que não seja necessário o uso de muitos nomes diferentes. Assim, ao invés de chamar as variáveis de $a, b, c, d, \cdots,$ por exemplo, é comum chamá-las de $a_1, a_2, a_3, a_4, \cdots$ Esses números associados ao nome da variável são chamados de índices. Muitas vezes, como no caso das matrizes que veremos nesta aula, esses índices dão alguma informação posicional da variável correspondente. Por exemplo, em uma fila, podemos ter $\text{cliente}_1, \text{cliente}_2$ e $\text{cliente}_3,$ dando a ideia de que há uma ordem entre os clientes na fila. Nesses casos, é comum usar algumas expressões matemáticas com índices. Por exemplo, se queremos falar de um cliente em uma posição qualquer, escrevemos $\text{cliente}_i$, e se queremos falar do que está duas posições atrás dele, escrevemos $\text{cliente}_{(i-2)}$. No caso das matrizes de duas dimensões, usamos dois índices, como veremos a seguir.

Matrizes

Você sabe ou lembra o que são matrizes? As matrizes são elementos matemáticos largamente utilizados na representação de dados e podem ser vistas como abstrações de tabelas, recursos com os quais estamos habituados a trabalhar cotidianamente. Para você ter uma ideia, a maioria das linguagens de programação apresenta as matrizes como uma de suas estruturas de dados mais importantes. Daremos enfoque às matrizes como um elemento matemático, mas as operações e notações aqui explicadas têm relação direta com as representações computacionais. É importante observar que, apesar de trabalharmos aqui com matrizes numéricas, ou seja, matrizes em que os valores em cada uma de suas posições são números, em linguagens de programação esse conceito é estendido para matrizes de quaisquer tipos de dados que estejam definidos na linguagem (como textos, por exemplo). No entanto, a maioria das operações e propriedades que estudaremos aqui, como, por exemplo, a soma de matrizes, só faz sentido para matrizes numéricas.

As matrizes são aplicadas à representação de variados problemas. Consideremos como exemplo uma tabela de dados com as distâncias rodoviárias e aéreas entre as capitais do Brasil. Você pode ver a seguir uma tabela reduzida, extraída da tabela completa apresentada no site .

Essa tabela é um exemplo de matriz composta por dados simples, as distâncias entre pares de capitais, através dos quais fica fácil obter a distância rodoviária e aérea entre duas capitais quaisquer. Dizemos que uma matriz desse tipo possui duas dimensões, da mesma maneira que a tabela correspondente é chamada de tabela de duas entradas, pois relaciona dois grupos de objetos. No caso do nosso exemplo, temos na realidade o mesmo grupo de objetos (as capitais) sendo considerado nas duas dimensões (como cidades de origem e como cidades de destino).

As matrizes que veremos a seguir são abstrações de tabelas como a apresentada anteriormente. A grande diferença é que na matriz as etiquetas que identificam cada linha ou coluna são sempre números inteiros positivos, chamados índices da matriz, e esses números não são representados explicitamente. O objeto matemático correspondente à tabela anterior seria então representado como:

Definições

Uma matriz $A_{(m \times n)}$ é uma coleção de números:

onde $m$ e $n$ são números inteiros positivos que denotam o número de linhas e o número de colunas, respectivamente.

A ordem de uma matriz $A_{(m \times n)}$ é o par que representa o número de linhas ($m$) seguido do número de colunas ($n$) de $A$, denotado por ${m \times n}$.

Em uma matriz numérica, cada um dos elementos $a_{ij}$ de A é um número, localizado na $i$-ésima linha e na $j$-ésima coluna de $A$, onde $1 \le i \le m$ e $1 \le j \le n$.

A seguir, você verá tipos especiais de matrizes: as quadradas, triangulares e uma matriz muito especial, a identidade. O conhecimento desses tipos de matrizes será importante também quando estivermos discutindo as operações sobre elas.