Atividade 01

Você entendeu o que é uma proposição? Como exercício, indique outras proposições que aparecem naturalmente no seu dia a dia. Classifique cada uma delas como verdadeira ou falsa. Caso sinta necessidade, pesquise um pouco na internet ou em livros que tratam deste assunto.

Operadores booleanos

É possível juntar algumas proposições para formar proposições mais complexas, também chamadas de expressões booleanas. Para isso, utilizaremos operadores booleanos ou lógicos, também chamados de conectivos. Voltando ao problema do envenenamento do enfermeiro Zé, podemos ver que a afirmação original feita pelo paciente (1)

Zé foi envenenado com $X$.

E a afirmação do paciente (3)

Zé foi envenenado com $Y$.

São afirmações simples, que chamamos também de proposições atômicas, pois não podem ser dividas em proposições menores. No entanto, as outras afirmações são compostas de afirmações simples através de conectivos lógicos. Consideremos como exemplo a segunda afirmação do paciente (1),

(5) é mentiroso ou (3) fala a verdade.

é composta de duas afirmações simples

(5) é mentiroso

e

(3) fala a verdade,

colocadas em uma afirmação única pelo uso da palavra “ou”. Se essa afirmação composta é verdadeira ou falsa vai depender da veracidade de cada uma das afirmações atômicas e do significado do conectivo “ou”. No caso, sabemos que quando dizemos “ou” em português, basta que uma das afirmações seja verdadeira para que a afirmação com o “ou” também seja, não? E se as duas forem verdadeiras, o cara está falando a verdade ou está mentindo? Qual é a sua opinião, nesse caso? Lembre-se de que a vida do enfermeiro Zé depende de conseguirmos decifrar corretamente a verdade desse conjunto de informações não muito confiáveis (mas vamos chegar lá, pode ficar tranquilo).

Os operadores booleanos podem ser unários ou binários. Um operador booleano unário é aquele aplicado sobre apenas uma proposição, caso do operador da negação que será explicado adiante. Já um operador binário é aquele aplicado sobre dois elementos ou proposições, caso dos demais operadores que serão explicados nesta aula.

Negação

A operação de negação indica que uma proposição não ocorre ou não é verdade. Existem várias maneiras de negar uma afirmação em português, porém a mais comum é através do uso da palavra não (e, em inglês, not). Por exemplo, observe a afirmação do paciente (2) no problema do enfermeiro Zé:

Zé não foi envenenado com $X$.

Ela diz o contrário (ou seja, a negação) da afirmação original do paciente (1). Podemos reescrevê-la como

Não é verdade que Zé foi envenenado com o veneno $X$.

Nesse caso, nossa proposição atômica é

Zé foi envenenado com $X$

que vamos chamar de $p$. O paciente (2) está então dizendo que não é verdade que $p$. Mas como estamos falando de matemática, é normal existir um símbolo que represente esse “não é verdade que”. Esse símbolo, que representa a operação de negação, pode variar de um livro para outro, mas aqui utilizaremos o “~”. A representação da afirmação do paciente (2) se escreve então como:

Veja outro exemplo. Dada a proposição $p$ correspondente à afirmação

2 é um número par,

como negar a proposição $p$? A negação de $p$, denominada $\sim$$p$, corresponde a

2 NÃO é um número par.

Observe que a proposição $p$ é verdadeira e a sua negação $\sim$$p$ é falsa. Aliás, sempre que uma proposição for verdadeira, sua negação será falsa. Analogamente, se uma proposição for falsa, sua negação será verdadeira.

A partir dos valores lógicos das proposições, podemos montar uma tabela, conhecida como tabela-verdade. Uma tabela-verdade relaciona todos os possíveis valores das proposições aos resultados correspondentes à aplicação de um operador às mesmas. Observe a tabela-verdade da negação:

Uma vez que uma proposição só pode assumir dois valores, verdadeiro ou falso, então, a tabela-verdade da negação só vai possuir duas linhas.