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arrow_back Aula 02 - Regra de três simples e composta

Proporcionalidade inversa

Vimos na aula anterior o conceito de proporcionalidade direta, quando o valor de uma grandeza aumenta com o valor da outra seguindo uma razão de proporcionalidade constante:

$$f(x) = q \cdot x$$

Por outro lado, dizemos que uma grandeza $G1$ é inversamente proporcional à grandeza $G2$ quando seus valores são relacionados por uma função de proporcionalidade inversa

$$f(x) = \frac{q}{x}$$

onde $x$ é o valor correspondente à grandeza $G1$, $f(x)$ à $G2$, e q é a constante de proporcionalidade. Passando $x$ para o outro lado da função, temos

$$f(x) \cdot x = q$$

ou ainda, reescrevendo o produto do lado esquerdo da equação $(f(x) \cdot x)$ de maneira a obter uma razão:

$$f(x) \div \frac{1}{x} = q$$

onde fica fácil de ver que a constante de proporcionalidade q corresponde à razão entre a grandeza representada por $f(x)$ e o inverso da grandeza representada por $x(\frac{1}{x})$. Daí, dizemos que essas grandezas são inversamente proporcionais.

Podemos interpretar as condições acima dizendo que, ao dobrarmos o valor de G1, dividimos o valor associado de G2 por dois; ao triplicarmos o valor de G1, dividimos o valor associado de G2 por três, e assim por diante.

Se, por exemplo, formos dividir 15 barras de chocolate para um grupo de amigos, quanto maior for o número de amigos menor será a quantidade de chocolate de cada um, como podemos observar na tabela abaixo.

Número de amigos Número de barras de chocolate por amigo
1 15
2 7,5
3 5
Tabela 1 - Exemplo de grandeza inversamente proporcional.

Nesse caso, as duas grandezas envolvidas são inversamente proporcionais, pois se o número de amigos dobra, o número de barras de chocolate a ser recebido por pessoa cai pela metade; se o número de amigos triplica, a quantidade de barras de chocolate a ser recebida por pessoa cai para um terço.

Importante

Dizer que o valor $x$ de uma grandeza é inversamente proporcional ao valor $y$ de outra grandeza, equivale a dizer que $x$ é proporcional a , $\frac{1}{y}$ ou que $y$ é proporcional a $\frac{1}{x}$.

Se liga!

Tanto na proporção direta quanto na inversa, a constante de proporcionalidade $q$ pode ser obtida fazendo-se $x = 1$ na função $f(x)$. Por exemplo:

  • Se $f(x) = 2 \cdot x$, para conhecermos q fazemos $f(1) = 2 \cdot 1 = 2 = q$. Daí temos que a constante de proporcionalidade de $f(x)$ é igual a $2$.
  • Se $f(x) = \frac{2}{x}$, teremos também $f(1) = \frac{2}{1} = 2 = q$ . Mas cuidado! Em uma situação de proporcionalidade inversa, a maneira de usar a constante de proporcionalidade muda, pois $q$ deve ser dividido pelo valor de $x$ para definir o valor de $f(x)$.

Outra maneira de usar a constante de proporcionalidade inversa é usar a forma

$$f(x) \cdot x = y$$

ou seja, lembrar que o produto das grandezas representadas por $x$ e $f(x)$ é constante (a constante de proporcionalidade $q$).

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