Atividade 03

1. Considerando as matrizes
   $$A = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \text{, } B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix} \text{ e } C = \begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 5 & 1 \\ \end{bmatrix}$$
   mostre que:
   • $(A+B)+C=A+(B+C)$
   • $A+B=B+A$
   • $0+A=A$
   • $A+(-A)=0$

Subtração de Matrizes

Sejam $A_{(m \times n)}$ e $B_{(m \times n)}$ matrizes com a mesma ordem, a subtração entre as matrizes $A$ e $B$, denotada por $A-B$, corresponde à matriz $C_{m \times n}$ em que cada elemento $c_{ij}$ de $C$ é dado pela subtração dos elementos correspondentes em $A$ e $B$, ou seja, $C_{ij} = A_{ij} - B_{ij}$, para todo $1 \le i \le m$ e $1 \le j \le n$. Dadas as matrizes:

A subtração $C = A - B$ entre essas matrizes corresponde a:

A seguir, um exemplo de subtração entre duas matrizes $A$ e $B$.

Note que a subtração entre matrizes $A - B$ equivale à soma entre a matriz $A$ e a matriz oposta de $B$, $-B$, como visto na definição de elemento oposto. Ou seja,

Propriedades da Subtração

• Associatividade e comutatividade: como a subtração de duas matrizes é definida como a subtração de cada par de elementos dessas matrizes, é de se esperar que as propriedades da subtração de matrizes sejam consequência das propriedades da subtração dos números que as compõem. Como a subtração de números não é comutativa nem associativa, a subtração de matrizes também não possui essas propriedades. Mais concretamente, considere $$A = \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 1\end{bmatrix} \text{ e } B = \begin{bmatrix}2 & 1\\2 & 1\end{bmatrix}.$$ Como $$A - B = \begin{bmatrix}1-2 & 2-1\\3-2 & 1-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}$$ é diferente de $$B - A = \begin{bmatrix}2-1 & 1-2\\2-3 & 1-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & -1\\-1 & 0\end{bmatrix}$$ então a subtração não é comutativa, já que existem matrizes $A$ e $B$ tais que $A-B ≠ B-A$. De maneira análoga se verifica que a subtração de matrizes não é associativa. A Atividade 04 mais abaixo traz um exercício que verifica que a diferença de matrizes não é uma operação associativa.
• Elemento neutro: dadas as matrizes $A$ e $0$ de mesma ordem, em que $0$ é a matriz nula, então $A - 0 = A$.

Exemplo 2

Vamos voltar ao caso dos pacotes de TV a cabo. Imagine agora que a companhia está fazendo uma promoção para que os clientes mudem para um pacote superior e oferece um desconto durante certo período (digamos $3$ meses) para quem fizer a migração. O desconto é de $R\$ 5/mês$ para quem for do pacote $1$ para o $2$, e de $R\$ 10/mês$ para quem fizer a migração do $1$ ou do $2$ para o $3$. Nenhum desconto é fornecido para quem permanecer no pacote que já possui ou para quem passar para um pacote inferior. A matriz completa da diferença de custos entre os pacotes, sem a promoção, está representada a seguir.

Os valores dos descontos correspondentes à promoção podem ser também registrados sob a forma de uma matriz como:

Lembre-se: como não temos as etiquetas, é importante lembrar que cada linha corresponde ao pacote atual do cliente e cada coluna corresponde ao pacote desejado.

Agora podemos calcular a matriz correspondente à diferença de custo para o cliente nos próximos $3$ meses em cada uma das migrações fazendo a subtração Diferença de $tarifas – Descontos$.

Atividade 04

1. Dada as matrizes $A = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ e $C = \begin{bmatrix}5 & 7 \\ 5 & 1 \\ \end{bmatrix}$ calcule quanto vale $(A - B) - C$? E $A - (B - C)$?

Produto de um Escalar por uma Matriz

Seja $A_{m \times n}$ uma matriz e $k \in R$ um escalar (um número). O produto de $k$ por $A$, denotada por $k \cdot A$, é a matriz $c_{m \times n}$ em que cada elemento $c_{ij}$ de $C$ é dado pelo produto do elemento correspondente de $A$ por $k$, ou seja, $c_{ij} = k \cdot a_{ij}$, para todo $1 \le i \le m$ e $1 \le j \le n$. Dada a seguinte matriz:

o produto $k \cdot A$ do escalar $k$ pela matriz $A$ corresponde a:

Segue-se um exemplo do produto do escalar $k = 2,5$ por uma matriz quadrada de ordem $3$.

A seguir, temos as propriedades do produto de um escalar por uma matriz.

• Multiplicação por um: dada uma matriz $A$ e o escalar $1$, então $1 \cdot A = A$.
• Multiplicação por zero: dada uma matriz $A$ e o escalar $0$, então $0 \cdot A = 0$.
• Distributividade do produto escalar em relação à soma de matrizes: dadas as matrizes $A$ e $B$ de mesma ordem e um escalar qualquer $k$, então $k \cdot (A + B) = k \cdot A + k \cdot B$.
• Distributividade do produto escalar em relação à soma dos escalares: dada a matriz $A$ e quaisquer escalares $p$ e $q$, então $(p + q) \cdot A = p \cdot A + q \cdot A$.

Exemplo 3

Vamos mais uma vez voltar ao caso dos pacotes de TV a cabo. Imagine agora que a companhia está fazendo uma segunda promoção para que os clientes mudem para um pacote superior e oferece um desconto durante 3 meses para quem fizer a migração, mas agora o desconto é definido sob a forma de uma porcentagem da diferença de custo. O desconto é de 60% da diferença, ou seja, O cliente terá um desconto de 60% na matriz de diferença de tarifas para pacote superior do exemplo 1. O seu desconto será de: