Exercício Resolvido

Uma pequena esfera (I), de massa 0,3 kg, move-se a 4m/s e colide elástica e frontalmente com a esfera (II), em repouso, de massa 0,1 kg. Logo após a colisão, quais são as velocidades das esferas?

Fonte: Elaborado pelo autor.

Como se trata de uma colisão elástica, tanto a energia cinética como a quantidade de movimento se conservam. Para acharmos as duas velocidades após a colisão, precisaremos de um sistema com duas equações para resolver.

Passo 1: Como a quantidade de movimento se conserva, temos:

$$ Q_{I} = Q_{F} $$ $$ m_{1} * v_{1i} + m_{2} * v_{2i} = m_{1} * v_{1f} + m_{2} * v_{2f} $$

Agrupando as informações de cada um dos corpos em cada lado da equação, temos:

$$ m_{1} * v_{1i} - m_{1} * v_{1f} = m_{2} * v_{2f} - m_{2} * v_{2i} $$ $$ (I) \quad m_{1} * (v_{1i} - v_{1f}) = m_{2} * (v_{2f} - v_{2i}) $$

Passo 2: Como a colisão é elástica, a energia também se conserva, logo:

$$ E_{cI} = E_{cF} $$ $$ \frac{(m_{1} * {v_{1i}} ^2)}{2} + \frac{(m_{2} * {v_{2i}}^2)}{2} = \frac{(m_{1} * {v_{1f}}^2)}{2} + \frac{(m_{2} * {v_{2f}}^2)}{2} $$

Cortando o divisor 2 comum aos dois lados, temos:

$$ m_{1} * {v_{1i}}^2 + m_{2} * {v_{2i}}^2 = m_{1} * {v_{1f}}^2 + m_{2} * {v_{2f}}^2 $$

De forma similar à equação 1, vamos agrupar as informações do mesmo corpo em lados diferentes da equação:

$$ m_{1} * {v_{1i}}^2 - m_{1} * {v_{1f}}^2 = m_{2} * {v_{2f}}^2 - m_{2} * {v_{2i}}^2 $$ $$ m_{1} * ({v_{1i}}^2 - {v_{1f}}^2) = m_{2} * ({v_{2f}}^2 - {v_{2i}}^2) $$

Aplicando a propriedade do produto notável (a+b)*(a-b) = a² - b², podemos expressar essa equação da seguinte forma:

$$ (II) \quad m_{1} * (v_{1i} + v_{1f}) * (v_{1i} - v_{1f}) = m_{2} * (v_{2f} + v_{2i}) * (v_{2f} - v_{2i}) $$

Passo 3: Dividindo a equação II pela equação I, temos:

$$ \frac{ m_{1} * (v_{1i} + v_{1f}) * (v_{1i} - v_{1f}) = m_{2} * (v_{2f} + v_{2i}) * (v_{2f} - v_{2i})}{m_{1} * (v_{1i} - v_{1f}) = m_{2} * (v_{2f} - v_{2i})} $$ $$ (v_{1i} + v_{1f}) = (v_{2f} + v_{2i}) $$

Substituindo os valores dados no enunciado de v_1i e v_2i, temos:

$$ 4 + v_{1f} = v_{2f} + 0 $$ $$ (III) \quad v_{2f} = v_{1f} + 4 $$

Substituindo o valor de v_2f na equação I temos:

$$ m_{1} * (v_{1i} - v_{1f}) = m_{2} * (v_{1f} + 4 - v_{2i}) $$

Agora vamos colocar os valores fornecidos no enunciado do problema:

$$ 0,3 * (4 - v_{1f}) = 0,1 * (v_{1f} + 4 - 0) $$ $$ 1,2 - 0,3v_{1f} = 0,1v_{1f} + 0,4 $$ $$ 0,4v_{1f} = 0,8 $$ $$ v_{1f} = \textbf{ 2 m/s } $$

Substituindo esse valor na equação III:

$$ v_{2f} = 2 + 4 $$ $$ v_{2f} = \textbf{ 6 m/s } $$