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Uma função f:R→R chama-se de 2º grau ou quadrática, quando existem números reais a, b, c, com a≠0, tais que f(x)=ax2+bx+c para todo x∈R . Em uma função de segundo grau, temos o x elevado ao quadrado (a parte quadrática da função), o x proporcional (em bx) e a constante c.
Temos uma função de 2º grau, por exemplo, ao multiplicarmos 2 funções de 1º grau:
(2x−1)⋅(3x+2)=6x2+x−2Denominamos de raiz (ou o zero) de uma função, o valor que, se atribuído a x, fará f(x) ter o valor 0. No caso de uma função de 1º grau, teremos apenas um valor que satisfaz essa condição. Vejamos um exemplo no exercício resolvido a seguir:
Exercício Resolvido 03
Qual a raiz da função f(x)=5x+2?
Atribuindo 0 a f(x), temos
subtraindo 2 dos dois lados da equação, ou, como costumamos dizer, passando 2 para o outro lado, temos
dividindo ambos os lados da equação por 5, ou, mais informalmente, passando 5 para o outro lado, ficamos com
Então, a raiz de f(x)=5x+2 é −2/5.
Uma função de 1º grau possui apenas uma raiz. Porém, uma função de 2º grau pode ser decomposta no produto de 2 funções de 1º grau. Dessa forma, teremos 2 raízes (ou duas raízes iguais). Essa afirmação parece ser um tanto quanto mentirosa para aqueles que não conhecem o conjunto dos números complexos (C), pois já resolvemos equações de segundo grau que não obtemos raízes reais. Vamos relembrar como resolver esse tipo de equação nos próximos exercícios resolvidos.
Exercício Resolvido 04
Quais as raízes da função f(x)=2x2−2x−4?
Decompondo em duas funções de 1º grau, teremos
Para fazer o produto ser igual a 0, basta que um dos fatores seja igual a 0, então
x=2 (para zerar o primeiro fator),
ou
x=−1 (para zerar o segundo fator).
Teremos, então, duas raízes x1=2 e x2=−1
Nem sempre poderemos facilmente decompor uma equação de 2º grau em duas de 1º grau. Então, para facilitar a obtenção das raízes, utilizamos uma fórmula chamada de Fórmula de Báskara:
e
Onde Δ=b2−4ac
Exercício Resolvido 05
Quais as raízes da função f(x)=2x2−2x−4?
Utilizando a fórmula de Báskara temos Δ=(−2)2−4⋅2⋅(−4)=36, e assim:
e para x2 temos:
Exercício Resolvido 06
Quais as raízes da função g(x)=x2+4?
Temos Δ=02−4⋅1⋅4=−16. Porém, no cálculo de x1 e x2, precisamos calcular √Δ=√−16 que não é um número real (normalmente a gente diz que não existe raiz de número negativo, mas o mais correto a se dizer é que não existe número real que seja igual a raiz de um número negativo).
Nesse caso (e em qualquer outro que Δ<0), temos que a função não possui raízes reais.
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