Função de 2^o Grau

Uma função $f:\mathbb{R}→\mathbb{R}$ chama-se de $2$º grau ou quadrática, quando existem números reais $a$, $b$, $c$, com $a≠0$, tais que $f(x)=ax^{2}+bx+c$ para todo $x \in \mathbb{R}$ . Em uma função de segundo grau, temos o $x$ elevado ao quadrado (a parte quadrática da função), o $x$ proporcional (em $bx$) e a constante $c$.

Temos uma função de $2º$ grau, por exemplo, ao multiplicarmos $2$ funções de $1º$ grau:

Raízes da Função

Denominamos de raiz (ou o zero) de uma função, o valor que, se atribuído a $x$, fará $f(x)$ ter o valor $0$. No caso de uma função de $1º$ grau, teremos apenas um valor que satisfaz essa condição. Vejamos um exemplo no exercício resolvido a seguir:

Exercício Resolvido 03

Qual a raiz da função $f(x)=5x+2$?

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  Atribuindo $0$ a $f(x)$, temos

  $$ 0=5x+2 $$

  subtraindo $2$ dos dois lados da equação, ou, como costumamos dizer, passando $2$ para o outro lado, temos

  $$ −2=5x $$

  dividindo ambos os lados da equação por $5$, ou, mais informalmente, passando $5$ para o outro lado, ficamos com

  $$ x=−\frac{2}{5} $$

  Então, a raiz de $f(x)=5x+2$ é $−2/5$.

  Uma função de $1º$ grau possui apenas uma raiz. Porém, uma função de $2º$ grau pode ser decomposta no produto de 2 funções de $1º$ grau. Dessa forma, teremos $2$ raízes (ou duas raízes iguais). Essa afirmação parece ser um tanto quanto mentirosa para aqueles que não conhecem o conjunto dos números complexos ($\mathbb{C}$), pois já resolvemos equações de segundo grau que não obtemos raízes reais. Vamos relembrar como resolver esse tipo de equação nos próximos exercícios resolvidos.

Exercício Resolvido 04

Quais as raízes da função $f(x)=2x^{2}−2x−4 $?

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  Decompondo em duas funções de $1º$ grau, teremos

  $$ f(x)=(x−2)⋅(2x+2) $$

  Para fazer o produto ser igual a $0$, basta que um dos fatores seja igual a $0$, então

  $x=2$ (para zerar o primeiro fator),

  ou

  $x=−1$ (para zerar o segundo fator).

  Teremos, então, duas raízes $x_{1} = 2$ e $x_{2}=-1$

Nem sempre poderemos facilmente decompor uma equação de $2º$ grau em duas de $1º$ grau. Então, para facilitar a obtenção das raízes, utilizamos uma fórmula chamada de Fórmula de Báskara:

e

Onde $\Delta = b^2 - 4ac$

Exercício Resolvido 05

Quais as raízes da função $f(x)=2x^{2}−2x−4$?

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  Utilizando a fórmula de Báskara temos $Δ=(−2)2−4⋅2⋅(−4)=36$, e assim:

  $$ x_1 = \frac{-(-2)+ \sqrt{36}}{2} $$

  $$ x_1 = \frac{2 + 6}{4} = 2 $$

  e para $x_2$ temos:

  $$ x_2 = \frac{-(-2)- \sqrt{36}}{2} $$

  $$ x_2 = \frac{2 - 6}{4} = -1 $$

Exercício Resolvido 06

Quais as raízes da função $g(x)=x^{2}+4$?

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  Temos $Δ=02−4⋅1⋅4=−16$. Porém, no cálculo de $x_{1}$ e $x_{2}$, precisamos calcular $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-16}$ que não é um número real (normalmente a gente diz que não existe raiz de número negativo, mas o mais correto a se dizer é que não existe número real que seja igual a raiz de um número negativo).

  Nesse caso (e em qualquer outro que $Δ< 0 $), temos que a função não possui raízes reais.