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O domínio de uma função é o conjunto de valores válidos como entrada para essa função, ou seja, o conjunto de valores $x$ de $X$ para os quais existe um valor $y$ de $Y$ associado a $x$ por $f$, ou seja, $y=f(x)$. A imagem de uma função é conjunto de todas as saídas possíveis para essa função, ou seja, o conjunto de valores $y$ de $Y$ para os quais existe um valor $x$ de $X$ que está associado a $y$ por $f$ (ou seja, $y=f(x)$).
Frequentemente, considera-se o conjunto de partida $X$ como sendo a mesma coisa que o domínio de uma função. No entanto, em programação, é muito útil permitir que existam valores $x$ do conjunto de partida para os quais não existe um $y$ associado, ou seja, que não façam parte do domínio da função. Um exemplo bem comum é o da divisão. Considere a divisão de inteiros como uma função chamada $div$ que tem como entrada pares de inteiros (o dividendo e o divisor) e como saída um inteiro (o quociente). Nesse caso, qual seria o valor de $div(10,0)$? Como $div$ tem como saída números inteiros, $div(10,0)$ deveria ser um número inteiro, não é? Mas esse número não existe... (dizemos que a função é indefinida para essa entrada). O par $(10,0)$ é um par de inteiros e, portanto, faz parte do conjunto de partida (que é o produto cartesiano $\mathbb{Z}×\mathbb{Z}$ ), mas não faz parte do domínio da função, que não inclui os pares cujo segundo elemento, o divisor, é zero. Em programação, escreveríamos algo como
“a função $div$ recebe $2$ argumentos de tipo inteiro, dividendo e divisor. Se divisor for diferente de $0$, execute a divisão, senão mostre um erro na tela”.
Essas funções são chamadas de funções parciais. Aqui nesta aula, a não ser que seja dito explicitamente o contrário, procuraremos sempre fazer o conjunto de partida ser o domínio da função.
Como vimos, uma função $f:X→Y$ associa cada elemento do seu conjunto de partida, $X$, a apenas um elemento do seu conjunto de chegada, $Y$. Se associasse algum elemento de $X$ a mais de um elemento de $Y$, não seria uma função. Da mesma maneira, vimos que é possível distinguir as situações em que o domínio da função é $X$ e outras (funções parciais) onde permite-se que o domínio da função seja um subconjunto de $X$. Nessas análises, estamos analisando o comportamento do mapeamento de $f$ com relação aos elementos do conjunto de partida, $X$. O mesmo tipo de análise pode ser feito olhando os elementos do conjunto de chegada, $Y$. Nesse caso, obtemos a classificação das funções em injetoras, sobrejetoras e bijetoras, como veremos a seguir.
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