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O domínio de uma função é o conjunto de valores válidos como entrada para essa função, ou seja, o conjunto de valores x de X para os quais existe um valor y de Y associado a x por f, ou seja, y=f(x). A imagem de uma função é conjunto de todas as saídas possíveis para essa função, ou seja, o conjunto de valores y de Y para os quais existe um valor x de X que está associado a y por f (ou seja, y=f(x)).
Frequentemente, considera-se o conjunto de partida X como sendo a mesma coisa que o domínio de uma função. No entanto, em programação, é muito útil permitir que existam valores x do conjunto de partida para os quais não existe um y associado, ou seja, que não façam parte do domínio da função. Um exemplo bem comum é o da divisão. Considere a divisão de inteiros como uma função chamada div que tem como entrada pares de inteiros (o dividendo e o divisor) e como saída um inteiro (o quociente). Nesse caso, qual seria o valor de div(10,0)? Como div tem como saída números inteiros, div(10,0) deveria ser um número inteiro, não é? Mas esse número não existe... (dizemos que a função é indefinida para essa entrada). O par (10,0) é um par de inteiros e, portanto, faz parte do conjunto de partida (que é o produto cartesiano Z×Z ), mas não faz parte do domínio da função, que não inclui os pares cujo segundo elemento, o divisor, é zero. Em programação, escreveríamos algo como
“a função div recebe 2 argumentos de tipo inteiro, dividendo e divisor. Se divisor for diferente de 0, execute a divisão, senão mostre um erro na tela”.
Essas funções são chamadas de funções parciais. Aqui nesta aula, a não ser que seja dito explicitamente o contrário, procuraremos sempre fazer o conjunto de partida ser o domínio da função.
Como vimos, uma função f:X→Y associa cada elemento do seu conjunto de partida, X, a apenas um elemento do seu conjunto de chegada, Y. Se associasse algum elemento de X a mais de um elemento de Y, não seria uma função. Da mesma maneira, vimos que é possível distinguir as situações em que o domínio da função é X e outras (funções parciais) onde permite-se que o domínio da função seja um subconjunto de X. Nessas análises, estamos analisando o comportamento do mapeamento de f com relação aos elementos do conjunto de partida, X. O mesmo tipo de análise pode ser feito olhando os elementos do conjunto de chegada, Y. Nesse caso, obtemos a classificação das funções em injetoras, sobrejetoras e bijetoras, como veremos a seguir.
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