Conhecimentos Prévios Necessários (Pré-requisitos)

Chamamos de produto cartesiano dos conjuntos $X$ e $Y$ o conjunto de todos os pares ordenados compostos por um elemento pertencente a $X$ (o primeiro elemento do par) e um pertencente a $Y$ (o segundo elemento do par). Podemos representar matematicamente a definição de produto cartesiano da seguinte forma:

(lê-se: o produto cartesiano de $X$ com $Y$ é o conjunto de todos os pares $(x,y)$ tais que $x$ pertence a $X$ e $y$ pertence a $Y$.)

O que é uma Função?

Uma função é uma associação ou um mapeamento entre elementos de dois conjuntos. Chamando esses conjuntos de $X$ e $Y$, uma função $f$ de $X$ em $Y$ associa, a cada elemento $x$ de $X$, um único elemento $y$ de $Y$. A existência dessa associação entre $x$ e $y$ através de $f$ é normalmente representada por $y=f(x)$. Pensando computacionalmente, o valor $x$ é a nossa entrada de dados e o valor $y$, por sua vez, é o resultado que a função nos fornece após processar o dado $x$. Então, para cada entrada $x$, teremos uma única saída $y$.

Uma função é então definida por três informações: os conjuntos $X$ e $Y$, que chamaremos respectivamente de conjunto de partida e conjunto de chegada, e o mapeamento entre seus elementos. Há várias maneiras de definir esse mapeamento. As principais são: por uma enumeração, por uma equação ou por um gráfico.

Primeiramente, vejamos o que é uma definição por enumeração. Uma definição por enumeração deve dizer explicitamente o valor de $y$ ou $f(x)$ para cada $x$ do conjunto de partida. Isso pode ser feito através de tabelas, diagramas ou pela simples enumeração dos pares $(x,y)$.

$$ code = \{(“a”,1),(“e”,2),(“i”,3),(“o”,4),(“u”,5)\} $$

ou

ou ainda

Essa representação, apesar de simples, tem uma limitação clara. O que você acha? Como poderíamos representar explicitamente o mapeamento de uma função que tem como conjunto de partida todo o conjunto dos inteiros, por exemplo? E dos reais? Não é possível, não é? Por isso usamos a definição por equação, que é a segunda maneira de descrição de funções que veremos aqui. A equação é uma regra que diz como obter o $y$ ou $f(x)$ para cada $x$, através de um cálculo (que em computação chamamos de algoritmo).

Vejamos como exemplo a função $f(x)=2x+1$. Digamos que os nossos conjuntos de partida e de chegada são todos os números naturais ($\mathbb{N}$), começando do $0$. Então, podemos calcular o valor associado a cada número natural multiplicando-o por $2$ e, em seguida, somando $1$. Temos então que $f(0)=1, f(1)=3, f(2)=5 $ e assim por diante, como vemos no diagrama:

O importante nesse caso é que não foi preciso dizer o valor de cada $f(x)$ para todos os números naturais. Sempre que for necessário, esses valores podem ser calculados a partir da equação.

Atividade 01

1. Enumere todos os pares da função capitais, que mapeia cada estado do Brasil com sua capital.