Lógica Booleana

Certamente você já ouviu falar em Lógica. Quando queremos afirmar algo que julgamos ser óbvio, dizemos que nossa afirmação é lógica utilizando frases como “é lógico que vou me sair bem nesta disciplina, pois sou inteligente e dedicado”. Sem ao menos percebermos, fazemos referência a regras de dedução da Lógica, concluindo que o sucesso na disciplina decorrerá de inteligência e dedicação.

Quando você desenvolve um raciocínio, isto é, quando faz alguma argumentação, você geralmente utiliza a linguagem natural (no caso, português), seja na forma falada ou escrita. Por exemplo, ao simular o raciocínio de Sherlock Holmes no problema do envenenamento do enfermeiro Zé, você pode pensar se o paciente (1) é dos que sempre fala a verdade, então Zé foi envenenado com o veneno $X$. Daí, podemos concluir que o paciente (2) é mentiroso, pois ele diz exatamente o contrário do paciente (1). E o que mais podemos concluir? Com essa hipótese de que o paciente (1) sempre fala a verdade, podemos concluir que (5) é mentiroso? (1) diz que “(5) é mentiroso ou (3) fala a verdade”. O que exatamente significa essa afirmação? Mais uma vez, quando os problemas começam a ficar um pouco mais complicados, a ajuda de uma ferramenta matemática adequada se faz necessária para não nos atrapalharmos. Essa ferramenta é justamente a Lógica Matemática, uma linguagem com um conjunto de regras e operações bem definidas, viabilizando a análise apropriada das afirmações e permitindo gerenciar as argumentações de forma rigorosa.

Segundo o Dicionário Aurélio, a palavra lógica possui vários significados, dentre os quais destacamos o seguinte, considerando a Lógica Matemática:

Então, vamos começar a conhecer melhor essa ferramenta. A base da Lógica Proposicional ou Booleana são as afirmações que podemos fazer sobre o mundo real ou algum mundo imaginário. Na Lógica, essas afirmações são chamadas de proposições.

Proposições são frases declarativas (afirmações) que possuem um valor, verdadeiro ou falso. Para você entender melhor o que é uma proposição, considere a frase “1 mais 1 é igual a 10, ou simbolicamente, 1 + 1 = 10”. Essa frase é uma proposição no sentido de que ela afirma ou nega um fato e pode ser classificada como verdadeira ($V$) ou falsa ($F$). Nesse caso, se a operação de soma se desenvolve sobre números do sistema decimal, a proposição anterior seria falsa. Aliás, lembrando das aulas anteriores, em que sistema de numeração essa afirmação seria verdadeira?

Outro exemplo é dado pela afirmação “5 é menor que 9”, uma proposição verdadeira. Como terceiro exemplo, temos a sentença “João gosta de Maria”, cujo valor será verdadeiro ou falso, dependendo da interpretação de quem é João, quem é Maria, e do significado de gostar.

Conforme você poderá notar no decorrer desta aula, normalmente as proposições são representadas por letras minúsculas ($p$, $q$, $r$, etc.), chamadas de variáveis proposicionais. Assim, a proposição “João gosta de Maria” pode ser representada simplesmente como $p$. Esse tipo de representação facilita o trabalho com operações lógicas, que veremos a seguir, porque evita a repetição de todo o texto da proposição. Além do mais, como veremos adiante, muitas vezes queremos falar e pensar de uma maneira geral sobre alguma propriedade de um operador lógico e, nesse caso, a letra representa uma proposição qualquer. É a mesma coisa que fazemos quando queremos dizer, por exemplo, que a adição numérica é comutativa e escrevemos $x+y=y+x$. Ou seja, dizemos que quaisquer que sejam os valores que estamos adicionando, tanto faz qual vem primeiro e qual vem depois.