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Aula 05 - Matrizes – parte 2

Determinantes de Matrizes de Segunda Ordem

Dada uma matriz $A$ de segunda ordem:

$A_{(2 \times 2)} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix}$

Definimos seu determinante $\det (A)$ como a diferença entre o produto dos termos de sua diagonal principal pelo produto dos termos de sua diagonal secundária:

$\det(A) = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$

Por exemplo,

$\det\left( \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & 2 \\ \end{bmatrix} \right) = 3 \cdot 2 - 7 \cdot (-1) = 6 + 7 = 13$

Em alguns casos, por simplicidade, denotamos o cálculo do determinante somente escrevendo a matriz entre duas barras verticais. Ou seja, no exemplo anterior, ao invés de escrever $\det\left(\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & 2 \\ \end{bmatrix} \right)$ , escreveríamos $\left|\begin{array}{cc} 3 & 7\\-1 & 2 \end{array} \right|$ para indicar que estamos calculando o determinante da matriz em questão.

Determinantes de Matrizes de Terceira Ordem

No caso de uma matriz de terceira ordem, utilizamos a Regra de Sarrus (lê-se sarrí) para calcular o determinante:

$A_{(3 \times 3)} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}$

$\det(A) = (a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}) \\- (a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33} + a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} + a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31})$

Para evitar termos que memorizar esse cálculo, descreveremos essa regra de uma maneira alternativa. Dada a matriz A anterior, inicialmente repetiremos as duas primeiras colunas de $A$ , após sua terceira coluna, para obter uma matriz $A^{'}$ com $3$ linhas e $5$ colunas:

$A^{'}_{(3 \times 3)} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \\ \end{bmatrix}$

Em seguida, fazemos como se fossem $3$ matrizes $3 \times 3$ : $A^{'}$ com as $3$ primeiras colunas, $A^{'}_{2}$ com as colunas de $2$ a $4$ e $A^{'}_{3}$ com as colunas $3$ a $5$ . Calculamos então $s_{1}$ , a soma dos produtos dos elementos de cada diagonal principal (que atravessa a matriz do canto superior esquerdo para o canto inferior direito) e $s_{2}$ , a soma dos produtos dos elementos de cada diagonal secundária (que atravessa a matriz do canto superior direito para o canto inferior esquerdo), conforme ilustrado a seguir:

O determinante de $A$ , $\det(A)$ , será dado pela diferença entre $s_{1}$ e $s_{2}$ :

$\det(A) = s_{1} - s_{2} = (a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}) \\- (a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33} + a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} + a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31})$

Exemplo 1

Dada a matriz de terceira ordem, qual seu determinante?

$A{(3 \times 3)} = \begin{bmatrix} 3 & 7 & 6 \\ 5 & 8 & 0 \\ 9 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$

Solução

Pela regra de Sarrus, inicialmente formamos uma nova matriz $A^{'}_{(3 \times 5)}$ :

$A^{'}{(3 \times 5)} = \begin{bmatrix} 3 & 7 & 6 & 3 & 7 \\ 5 & 8 & 0 & 5 & 8 \\ 9 & 2 & 1 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Então, calculamos a soma dos produtos $s_1$ , do canto superior esquerdo para o canto inferior direito:

$s_{1} = 3 \cdot 8 \cdot 1 + 7 \cdot 0 \cdot 9 + 6 \cdot 5 \cdot 2 = 24 + 0 + 60 = 84$

e a soma dos produtos $s_2$ , do canto superior direito para o canto inferior esquerdo:

$s_{2} = 7 \cdot 5 \cdot 1 + 3 \cdot 0 \cdot 2 + 6 \cdot 8 \cdot 9 = 35 + 0 + 432 = 467$

Portanto,

$\det\left( \begin{bmatrix} 3 & 7 & 6 \\ 5 & 8 & 0 \\ 9 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \right) = 84 - 467 = -383$

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