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A operação da disjunção exclusiva indica que a expressão somente será verdadeira quando as duas proposições envolvidas possuem valores lógicos diferentes. Ela se diferencia do ou visto na aula anterior, pois requer que exatamente uma das duas proposições conectadas seja verdade, ao passo que o resultado de um ou também é verdade quando ambas são verdadeiras. Por isso, justamente, é chamada de ou-exclusivo. Em português, a maneira mais comum de juntar duas proposições através de uma disjunção exclusiva é a construção ou-ou (ou isso ou aquilo, em inglês, either-or, mas matematicamente é frequentemente chamado de exclusive or ou XOR). Um dos símbolos usados para indicar esse conectivo é o $\oplus$. As pessoas que usam normalmente esse símbolo vêm da área de circuitos lógicos e arquitetura de computadores (área de hardware). É o que usaremos nesse texto, pois na realidade é nessa área que é mais comum encontrar referência ao operador ou-exclusivo.
Em português, na realidade, podemos também usar um único ou com o significado de disjunção exclusiva. Normalmente nesse caso é o contexto que vai dar uma indicação do significado desejado. Isso acontece porque a linguagem natural (português) é ambígua, ou seja, permite que uma mesma construção tenha mais de um significado.
Um exemplo: no Brasil comemos abacate com açúcar, mas em muitos outros países come-se abacate como salada, com sal e outros temperos. Podemos dizer que come-se abacate com açúcar ou com sal. Nesse caso, com certeza o ou é exclusivo, pois não é razoável colocar açúcar e sal ao mesmo tempo no abacate (se quiser experimentar, fique à vontade. Cada doido com sua mania, né?) Ou seja, só serve um ou outro, mas não os dois.
Como exemplo de ou-exclusivo consideremos a restrição (2) do problema dos astronautas:
(2) F ou G deve estar presente no grupo, mas não ambos.
Observe que, para acabar com a ambiguidade, os autores da questão explicitaram “mas não ambos”. A formalização dessa afirmação é:
$$ f \oplus g $$Vejamos um outro exemplo com as proposições
João está trabalhando
e
João está descansando
Observe que não é possível trabalhar e descansar ao mesmo tempo. Então, naturalmente, se quisermos fazer uma disjunção dessas duas afirmações, essa disjunção será exclusiva. Em português, diríamos:
ou João está trabalhando ou João está descansando.
Formalizado como:
João está trabalhando $\oplus$ João está descansando
Veja mais um exemplo: se a proposição p representa Maria está em Natal e a proposição q representa Maria está em Mossoró, então a expressão booleana representa Maria está em Natal ou Maria está em Mossoró, ou ainda, de forma mais curta: Maria está em Natal ou em Mossoró.
Observe que uma expressão composta pelo ou-exclusivo somente vai ser verdadeira se uma das proposições for verdadeira e a outra falsa. Vejamos a tabela-verdade do ou-exclusivo:
$$ \begin{array}{c|l|cr} p & q & p \oplus q \\ \hline \color{blue}{V} & \color{blue}{V} & \color{red}{F} \\ \color{blue}{V} & \color{red}{F} & \color{blue}{V} \\ \color{red}{F} & \color{blue}{V} & \color{blue}{V}\\ \color{red}{F} & \color{red}{F} & \color{red}{F} \end{array} $$O significado de qualquer operador booleano pode ser expresso apenas usando a disjunção e a negação ou apenas a conjunção e a negação. Ou seja, se tivéssemos apenas um desses pares de conectivos, poderíamos assim mesmo construir expressões equivalentes a todas as afirmações correspondentes aos outros conectores booleanos. No entanto, isso não seria muito prático, pois as expressões ficariam muito complicadas e pouco intuitivas. Por exemplo, temos que
$$p ∧ q$$é equivalente a
$$ \sim ( \sim p ∨ \sim q)$$ou seja, se temos p e q, então não é verdade que pelo menos um dentre p e q é falso. Você pode verificar isso fazendo a tabela-verdade das duas expressões. Mas a segunda é MUITO mais esquisita, não é? No entanto, muitas vezes é útil saber construir uma proposição composta equivalente a uma outra. Em particular, é muito útil saber construir uma proposição composta com disjunções, conjunções e negações. Procuraremos sempre mostrar, então, como os conectivos que vamos apresentar nesta aula podem ser substituídos por expressões que contêm apenas os três conectivos que vimos na aula passada.
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