Resolução de problemas

Finalmente, vamos ver como podemos resolver o problema do envenenamento do enfermeiro Zé de uma maneira formal. Inicialmente, vamos nos focar apenas nas afirmações que falam diretamente sobre o envenenamento do enfermeiro. Como vimos anteriormente, podemos considerar duas proposições atômicas nesse caso, que representamos como $p$ e $q$:

$p$: O enfermeiro Zé foi envenenado com $X$.

e

$q$ : O enfermeiro Zé foi envenenado com $Y$

Nossa tabela-verdade então será formada por 4 linhas, correspondendo às situações em que Zé foi envenenado com os 2 venenos ($p$ e $q$ verdades), apenas com $X$ ($p$ verdade e $q$ falso), apenas com $Y$ ($q$ verdade e $p$ falso) e, Zé não foi envenenado ($p$ e $q$ falsos)

As expressões correspondentes às afirmações dos pacientes são formalizadas como:

• afirmação original do paciente (1): $p$
• afirmação do paciente (2): $\sim$$p$
• afirmação do paciente (3): $q$
• afirmação do paciente (4): $\sim p\ ∧ \sim q$

São essas as expressões para as quais precisamos da tabela-verdade. $p$ e $q$ já estão, pois são as proposições atômicas. Precisamos então de uma coluna para $\sim p$, uma para $ \sim q$ e uma para a conjunção de $\sim p$ e $ \sim q$. A tabela fica assim:

Mas isso não basta para resolvermos o problema, pois não sabemos quem fala a verdade. Vamos agora completar a tabela com essa parte da informação. Chamemos de $v_i$ a proposição que diz que o paciente $i$ fala a verdade. Temos então que $v_1$ é equivalente a $p$ (seta tracejada), pois o paciente fala a verdade se $p$ é verdade e mente caso contrário. E seguindo o mesmo raciocínio:

• $v_2$ é equivalente a $\sim p$;
• $v_3$ é equivalente a $q$;
• $v_4$ é equivalente a $\sim p \ ∧ \sim q$;
• $v_5$ é equivalente a $ \sim v_4 ∨ v_3$; e;

por causa da segunda afirmação do paciente (1), $v_1$ é equivalente a $\sim v_5 ∨ v_3$.

Completando a tabela-verdade com todas essas colunas, teremos:

Mas como sabemos que cada paciente SEMPRE fala a verdade ou SEMPRE mente, $v_1$ tem que ser igualmente verdade ou mentira se analisada a partir da primeira ou da segunda afirmação do paciente (1) (vemos a comparação com as setas contínuas). Observando a tabela-verdade, vemos que somente na situação em que $p$ e $q$ são verdades, a coluna correspondente às duas afirmações do paciente (1) possuem o mesmo valor e esse valor é $V$ (verdade) (círculos verdes e laranjas). Podemos então concluir que Zé foi envenenado com ambos os venenos, o que era o mais importante. Zé já pode receber os antídotos necessários. Além disso, podemos saber quem falou a verdade e quem mentiu: o paciente (1) fala a verdade. E os outros?

O Zé finalmente está curado e mandou um agradecimento especial pra você! Mais um caso solucionado!

Elementar meu caro Watson!