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arrow_back Aula 07 - Lógica Proposicional

Propriedades da Conjunção

Como devemos interpretar uma tabela-verdade? Como aqui temos 2 proposições sendo combinadas com um conectivo, fica mais claro do que no caso da negação, onde só havia uma proposição. Cada uma das linhas da tabela corresponde a uma situação diferente, ou uma combinação diferente de valores lógicos para as proposições que estão sendo combinadas (no caso da Tabela 2, $p$ e $q$). A linha A da Tabela 2, por exemplo, representa a situação em que ambas as proposições $p$ e $q$ são verdadeiras. Por sua vez, cada coluna corresponde aos valores de uma proposição (atômica ou composta). Todas as combinações de valores para as proposições atômicas precisam estar presentes (uma em cada linha) e, para cada uma delas, o valor na coluna correspondente à operação define o valor resultado dessa operação para a combinação de valores daquela linha. A Tabela 2 nos diz então que $p ∧ q$ é verdade quando $p$ é verdade e $q$ é verdade e apenas nesse caso.

Propriedades úteis da conjunção:

  • comutatividade: $(p ∧ q) = (q ∧ p)$;
  • associatividade: $(p ∧ (q ∧ r)) = ((p ∧ q) ∧ r)$;
  • elemento neutro:$V$ (verdade) é o elemento neutro da conjunção, pois $p ∧ V ≡ p$.

Construindo uma tabela-verdade - primeira parte

Conforme observamos na Tabela 2, se uma expressão contém dois termos (duas proposições), o número de linhas que expressam as possíveis combinações de valores (V ou F) será quatro ($2^2$):

  • um caso em que ambas as proposições são verdadeiras (linha A);
  • dois casos em que apenas uma das proposições é verdadeira (linhas B e C);
  • um caso em que ambas as proposições são falsas (linha D).

Se a fórmula possuir três proposições, serão necessárias oito linhas ($2^3$) para expressar as possíveis combinações de valores das proposições:

  • um caso em que todas as proposições são verdadeiras;
  • três casos em que apenas duas proposições são verdadeiras;
  • três casos em que apenas uma das proposições é verdadeira;
  • um caso no qual todas as proposições são falsas.

Podemos generalizar esse cálculo e concluir que o número de linhas distintas de uma tabela-verdade é dado por $2^n$, onde $n$ é o número de proposições lógicas. Por exemplo, no caso da negação, em que temos apenas uma proposição, a tabela-verdade possui $2^1$ linhas, ou seja, 2 linhas. Da mesma forma, na conjunção, que atua com duas proposições, a tabela-verdade possui $2^2$ linhas, ou seja, 4 linhas.

Para preencher uma tabela-verdade com n proposições, você deve seguir ocupando as colunas, da esquerda para a direita, de cima para baixo, com grupos de $2^n/2^i$ valores verdadeiros (V) seguidos de grupos de $2^n/2^i$ valores falsos (F), para cada i-ésima coluna. Observe que $i$ varia de 1 até $n$, ou seja, o número de colunas é igual ao número de proposições. Segue um exemplo de como preencher uma tabela-verdade para três proposições.

A $i$-ésima coluna de uma tabela corresponde à sua coluna de número $i$, ou seja, a coluna de posição . Essa terminologia também se aplica às linhas de uma tabela, de forma que a $i$-ésima linha é a linha de posição $i$.

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