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Como $a^n$ corresponde à multiplicação entre si de $n$ instâncias de $a$, o que vai acontecer quando $a$ é negativo? Cada multiplicação por $a$ vai dar origem a uma troca de sinal do resultado. Para vermos isso mais concretamente, vejamos alguns exemplos com $a = -3$. Primeiramente com $n = 2$:

Ou seja, multiplicamos $3$ vezes $3$ e obtemos o resultado $9$. Para saber o sinal do resultado, analisamos o sinal de cada um dos fatores da multiplicação ($-3$ e $-3$). Como ambos eram negativos, o resultado é positivo. Agora, vejamos com $n = 3$:

Nesse caso, multiplicamos $3$ vezes o resultado de $(-3)^2$, que já tínhamos calculado, o que dá $27$. A análise dos sinais dos fatores ($-3$ e $9$) nos diz que o resultado dessa multiplicação deve ser negativo, pois um dos fatores era negativo e outro positivo.

Um processo similar pode ser realizado para calcular $(-3)^4$:

Podemos observar então que $a^n$ pode ser calculado como $a \cdot a^{n-1}$. Como $a$ é negativo, obrigatoriamente o sinal de $a^n$ será então o oposto do sinal de $a^{n-1}$. Como sabemos que $a^1=a$, logo, negativo, e que os expoentes inteiros pares e ímpares se alternam, temos que serão negativos $a^1,\ a^3,\ a^5,\cdots$, ou seja, as potências com expoentes ímpares; e positivos $a^2,\ a^4,\ a^6,\cdots$, ou seja, as potências com expoentes pares.

Conclusão

1. Dada uma potência de base negativa e expoente ímpar, o resultado será negativo.
2. Dada uma potência de base negativa e expoente par, o resultado será positivo.