Potenciação

A potenciação, também conhecida como exponenciação, é uma operação aritmética definida sobre dois operandos: uma base $a$ e um expoente $n$. A operação de potenciação é representada por $a^n$ e o resultado dessa operação é também chamado de potência. A base e o expoente de uma potência podem ser quaisquer números reais.

No caso particular em que o expoente é um número inteiro positivo ($n>0$), $a^n$ corresponde à multiplicação de $n$ fatores iguais à base $a$:

O comportamento da operação de potenciação para os outros casos de expoentes (números não inteiros, números negativos e zero) varia bastante e a intuição da multiplicação com $n$ fatores não ajuda a entendê-los. Veremos aqui apenas os expoentes inteiros.

Primeiramente, o que acontece quando o expoente $n$ é igual a zero? O que seria multiplicar a por a zero vezes? Nesse caso, foi convencionado que o resultado de $a^0$ deveria ser $1$ para que algumas propriedades importantes da potenciação, que veremos a seguir, funcionassem também para o expoente zero.

E quando n é negativo? O que seria multiplicar a por a menos dez $(-10)$ vezes, por exemplo? Nesse caso também o resultado da operação é definido através de uma convenção, que define que qualquer que seja a base $a$ e qualquer que seja o expoente $n < 0$:

E como devemos ler uma potência $a^n$? Podemos ler essa expressão de diversas maneiras:

1. $a$ elevado à potência $n$; ou
2. $a$ elevado a $n$; ou
3. $a$ elevado à $n$-ésima potência; ou
4. $a$ elevado à $n$-ésima.

Como exemplo, a potência $5^4$ pode ser lida como

1. cinco elevado à potência quatro; ou
2. cinco elevado a quatro; ou
3. cinco elevado à quarta potência, ou
4. cinco elevado à quarta.

Se $n = 2$ ou $n = 3$, temos ainda três outras formas de ler a potência:

1. $a^2$: "$a$ elevado ao quadrado", "quadrado de $a$", ou "$a$ ao quadrado";
2. $a^3$: "$a$ elevado ao cubo", ou "cubo de $a$", ou "$a$ ao cubo".

Essas duas últimas formas vêm, respectivamente, do cálculo da área de um quadrado, dada por $l\cdot l = l^2$, onde $l$ corresponde ao lado do quadrado, e ao volume de um cubo, dado por $l \cdot l \cdot l = l^3$ , onde $l$ corresponde ao comprimento, largura e altura de um cubo.