Regra de três composta

Até agora vimos como calcular valores de uma grandeza $G1$ em função do valor de outra grandeza $G2$ a qual $G1$ é diretamente ou inversamente proporcional. É comum, no entanto, que o valor de uma grandeza não dependa de apenas uma outra, mas sim de várias outras. Considere, por exemplo, o problema a seguir.

Problema 1:

Com um quadro de 20 funcionários, cada qual trabalhando 6 horas por dia, uma determinada fábrica produz 450 unidades diárias de um produto. Quantos funcionários serão necessários para produzir o dobro de produtos se a carga horária diária aumentar para 8 horas?

Nesse problema, sabemos que a produção da fábrica ($G1$) depende do número de funcionários ($G2$) e do número de horas de trabalho diárias ($G3$) de cada funcionário, ou seja, de duas grandezas diferentes. Sabemos também que (pelo menos em teoria) quanto mais funcionários trabalharem, maior deve ser a produção da fábrica e quanto mais horas cada um trabalhar, também maior deve ser essa produção. Ou seja, a produção parece ser diretamente proporcional ao número de funcionários e diretamente proporcional ao número de horas diárias de trabalho. Mas, o que queremos saber é o número de funcionários necessários para atender o problema. Então, pense bem:

Se mantivermos o número de produtos e aumentarmos a carga horária dos funcionários, serão necessários mais ou menos funcionários?

De novo, existem 2 maneiras diferentes de resolver o problema, mas, antes de apresentá-las, vamos ver as definições que mostram que podemos efetivamente chamar essas grandezas de diretamente (ou inversamente) proporcionais, mesmo que aumentar uma delas não implique sempre em aumentar (ou diminuir, respectivamente) a outra, por causa das outras grandezas envolvidas.

Nesse caso, a constante de proporcionalidade depende do valor correspondente a todas as outras grandezas $G2$ a $Gn$. Ou seja, para cada combinação de valores para $G2$ a $Gn$ temos uma constante de proporcionalidade específica para aquela combinação.

Como na proporção direta, para cada combinação de valores para G2 a Gn temos uma constante de proporcionalidade específica para aquela combinação.

Voltemos agora ao nosso problema da fábrica e vejamos as duas maneiras que podemos usar para resolvê-lo.

• Mostrar Solução arrow_drop_down

  Maneira 1: Nessa técnica, que corresponde à técnica de redução à unidade, reduzimos um problema de regra de três composta em vários passos de regra de três simples.

  Primeiro podemos calcular a produção de um funcionário em uma hora. Se $20$ funcionários em $6 h$ produzem $450$ produtos, podemos ver que 1 funcionário, no mesmo tempo, deve produzir $450/20$ produtos. Isso pode ser visto através de uma regra de três direta, dado que quanto menor o número de funcionários, menor o número de produtos:

  $$\frac{20}{1} = \frac{450}{n}$$ $$20 \cdot n = 450$$ $$n = \frac{450}{20} = 22,5\ produtos$$

  Então sabemos que cada funcionário produz, em média, $22,5$ produtos em $6$ horas. Para saber quantos ele produz em $1$ hora, faremos nova regra de três direta (pois quanto menos horas, menos produtos serão produzidos).

  $$\frac{22,5}{6} = \frac{n}{1}$$ $$n = 3,76\ produtos$$

  Se pensarmos que a grandeza a ser usada como referência para calcular a produção da fábrica é uma hora de um funcionário (que aliás é uma unidade que não pertence ao SI (Sistema Internacional de Unidades), mas é muito usada e conhecida pelo nome de homem-hora), temos agora uma proporção direta entre essa nova grandeza e a produção que nos permite usar uma regra de três simples e $3,75$ é a nossa constante de proporcionalidade:

  $$\frac{1}{3,75} = \frac{x}{900}$$ $$x = \frac{900}{3,75} = 240\ produtos$$

  Isso significa que precisamos de $240$ horas de trabalho a serem divididas entre os n funcionários de que a fábrica precisa para produzir os $900$ produtos. Então, temos: