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Normalmente, os operadores ocorrem em situações mais complexas do que as apresentadas anteriormente. Assim, conhecer as equivalências nos permite simplificar as expressões booleanas em alguns casos. Uma expressão é logicamente equivalente a outra se suas tabelas-verdades são idênticas. Agora, vamos aprender quais são as principais equivalências lógicas:
| 1 - Dupla negação | $\sim (\sim p) ≡ p$ |
| 2 - Elemento neutro da conjunção | $p ∧ \ verdadeiro \ ≡ p$ |
| 3 - Elemento absorvente da conjunção | $p ∧ \ falso \ ≡ \ falso$ |
| 4 - Elemento neutro da disjunção | $p ∨ \ falso \ ≡ p$ |
| 5 - Elemento absorvente da disjunção | $p ∨ \ verdadeiro \ ≡ \ verdadeiro$ |
| 6 - Silogismo hipotético | $ p → q, q → r ⇒ p → r $ |
| 7 - Dilema construtivo | $p → q, r → s, p ∨ r ⇒ q ∨ s$ |
| 8 - Dilema destrutivo | $p → q, r → s, (\sim q) ∨ (\sim s) ⇒ (\sim p) ∨ (\sim r)$ |
| 9 - Contrapositiva | $p → q ≡ (\sim q) → (\sim p)$ |
| 10 - Condicional para inclusiva | $p → q ≡ (\sim p) ∨ q$ |
| 11 - Disjunção inclusiva para condicional | $p ∨ q ≡ \sim p → q$ |
| 12 - Disjunção exclusiva para condicional | $p \oplus q ≡ \sim p ↔ q$ |
| 13 - Leis de Morgan |
$\sim (p ∨ q ) ≡ (\sim p) ∧ (\sim q)$ $\sim (p ∧ q) ≡ (\sim p) ∨ (\sim q)$ |
| 14 - Negação da condicional | $\sim (p → q) ≡ p ∧ (\sim q)$ |
| 15 - Bicondicional para condicionais | $p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)$ |
| 16 - Negação da bicondicional | $\sim (p ↔ q) ≡ p \oplus q$ |
Além das tabelas-verdade, essas equivalências também podem ser provadas por dedução a partir dos operadores mais básicos.
Com base na tabela de equivalências apresentada, dizer que “Pedro não é azarado” ou “o gato é preto” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:
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