Atividade 05
- Dadas as matrizes $A = \begin{bmatrix} 6 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 5 \\ 2 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 0 & 5 & 1 \\ 2 & 7 & 6 \\ 1 & 5 & 3 \\ \end{bmatrix}$ sabendo que $(-1+k)\cdot (A+B) = \begin{bmatrix} -3 & -6 & -1 \\ -3 & -5 & -5,5 \\ -1,5 & -2,5 & -2 \\ \end{bmatrix}$ informe quanto vale o escalar $k$?
Produto de Matrizes
Sejam $a_{m \times n}$ e $b_{n \times p}$ duas matrizes, o produto de $A$ por $B$, denotado por $A \cdot B$, é definido apenas quando o número de colunas de $A$ é igual ao número de linhas de $B$. O produto das matrizes $A$ e $B$ corresponde à matriz $c_{m \times p}$ em que cada elemento $c_{ij}$ de $C$ é dado pela soma dos produtos de cada elemento da $i$-ésima linha de $A$ pelo elemento correspondente da $j$-ésima coluna de $B$, ou seja, $c_{ij} = a_{i1} \cdot b_{1j} + a_{i2} \cdot b_{2j} + \cdots a_{in} \cdot b_{nj}$ , para todo $1 \le i \le m$ e $1 \le j \le p$. Dadas as matrizes:
$$
A_{(m \times n)} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}
\text{ e }
B_{(n \times p)} =
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1p} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{np} \\
\end{bmatrix}
$$
o produto $C = A \cdot B$ entre essas matrizes corresponde a:
$$C_{(m \times p)} = $$
$$
\begin{bmatrix}
(a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + \cdots + a_{1n} \cdot b_{n1}) & (a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + \cdots + a_{1n} \cdot b_{n2}) & \cdots & (a_{11} \cdot b_{1p} + a_{12} \cdot b_{2p} + \cdots + a_{1n} \cdot b_{np}) \\
(a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + \cdots + a_{1n} \cdot b_{n1}) & (a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + \cdots + a_{1n} \cdot b_{n2}) & \cdots & (a_{11} \cdot b_{1p} + a_{12} \cdot b_{2p} + \cdots + a_{1n} \cdot b_{np}) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(a_{m1} \cdot b_{11} + a_{m2} \cdot b_{21} + \cdots + a_{mn} \cdot b_{n1}) & (a_{m1} \cdot b_{12} + a_{m2} \cdot b_{22} + \cdots + a_{mn} \cdot b_{n2}) & \cdots & (a_{m1} \cdot b_{1p} + a_{m2} \cdot b_{2p} + \cdots + a_{mn} \cdot b_{np}) \\
\end{bmatrix}
$$
Mostramos, a seguir, exemplo de um produto entre duas matrizes.
$$
\begin{bmatrix}
2 & 2 & -1 \\
7 & 1 & -4 \\
8 & 1 & 3 \\
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
8 & 5 \\
3 & 1 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \cdot 0 + 2 \cdot 8 + (-1) \cdot 3 & 2 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + (-1) \cdot 1 \\
7 \cdot 0 + 1 \cdot 8 + (-4) \cdot 3 & 7 \cdot 2 + 1 \cdot 5 + (-4) \cdot 1 \\
8 \cdot 0 + 1 \cdot 8 + 3 \cdot 3 & 8 \cdot 2 + 1 \cdot 5 + 3 \cdot 1 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
13 & 13 \\
-4 & 15 \\
17 & 24 \\
\end{bmatrix}
$$
Se liga!
No site você pode exercitar a multiplicação de matrizes com dicas para solução dos exercícios e até vídeos com ajuda no conteúdo.
A seguir, temos as propriedades do produto entre matrizes.
- Não comutatividade: o produto entre duas matrizes é não comutativo. Na atividade 03, ao resolver os itens a) e b) você consegue provar essa propriedade.
-
Distributividade em relação à soma: sejam as matrizes $A$, $B$ e $C$:
- $A \cdot (B+C) = A \cdot B + A \cdot C$
- $(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C$
- Associatividade: sejam as matrizes $A$, $B$ e $C$. Então $A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C$.
- Elemento neutro: o produto de qualquer matriz $A_{n \times m}$ pela matriz identidade $I_m$ resulta na própria matriz $A_{n \times m}$, da mesma maneira que o produto de $I_n$ por $A_{n \times m}$ resulta em $A_{n \times m}$.
$$I_{n} \cdot A_{n \times m} = A_{n \times m} \cdot I_{m} = A_{n \times m}$$
Portanto, uma matriz identidade funciona como o elemento neutro do produto entre duas matrizes.
Quando precisamos resolver expressões com três ou mais matrizes e operadores diferentes, é imprescindível conhecer as precedências dos operadores, o que nos indicará a ordem de cálculo das subexpressões. A seguir, apresentamos as precedências dos operadores definidos anteriormente.
- Resolva inicialmente as operações que aparecem entre parênteses.
- Em seguida, resolva os produtos entre matrizes e os produtos entre escalares e matrizes.
- Por fim, resolva as adições e subtrações entre matrizes.
Atividade 06
- Dada as matrizes $A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 2 \\ \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 0 & 8 \\ -2 & 4 \\ \end{bmatrix}$ e $C = \begin{bmatrix} 7 & 1 & 4 \\ 9 & 0 & 0 \\ 1 & 8 & 2 \end{bmatrix}$ quais produtos existem? Quando o produto for definido, mostre a matriz resultante. Caso contrário, explique a razão da indefinição do produto.
Dica: sempre que possível, reutilize resultados já calculados.
- $A \cdot B$
- $B \cdot A$
- $A \cdot C$
- $A \cdot (B + C \cdot B)$
- $B \cdot A$
- $C \cdot A$
- $C \cdot B$
- $(C + B \cdot A) \cdot B$
Transposta de uma Matriz
Seja $A_{m \times n}$ uma matriz, sua transposta $A^{T}_{m \times n}$ é a matriz em que cada elemento $a_{ij}$ de $A^T$ corresponde ao elemento $a_{ji}$ de $A$, ou seja, $a_{ij}=a_{ji}$, para todo $1 \le i\le m$ e $1 \le j \le n$. Dada a matriz seguinte:
$$
A^{T}_{n \times m} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots &a_{mn} \\
\end{bmatrix}
$$
sua transposta $A^T$ é definida como:
$$
A^{T}_{n \times m} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots &a_{mn} \\
\end{bmatrix}
$$
Posto de maneira simples, as linhas (colunas) de uma matriz transposta correspondem às colunas (linhas) da matriz original.
Veja o exemplo seguinte:
$$
\begin{bmatrix}
8 & 0 & 2 & 1 \\
3 & 5 & 9 & 7 \\
\end{bmatrix}^{T}
=
\begin{bmatrix}
8 & 3 \\
0 & 5 \\
2 & 9 \\
1 & 7 \\
\end{bmatrix}
$$
A seguir, temos as propriedades da operação de transposição de uma matriz.
- Dada uma matriz $A$, $(A^{T})^{T} = A$.
- A transposta do produto de um escalar $k$ por uma matriz $A$ é igual ao produto do escalar $k$ pela transposta de $A$, ou seja, $(k \cdot A)^{T}= k \cdot (A^{T})$.
- Dadas as matrizes $A$ e $B$, a transposta da soma é a soma das transpostas: $(A+B)^{T} = A^{T} + B^{T}$.
- Dadas as matrizes $A$ e $B$, a transposta do produto é o produto das transpostas em ordem trocada: $(A \cdot B)^{T} = B^{T} \cdot A^{T}$.
