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arrow_back Aula 04 - Matrizes – parte 1

Operações sobre Matrizes

Definiremos, agora, algumas operações sobre matrizes. As definições apresentadas anteriormente serão muito relevantes, pois certas operações só poderão ser realizadas sobre matrizes com propriedades específicas. Além disso, os termos que você acabou de conhecer serão úteis para descrever as operações.

Igualdade entre Matrizes

Sejam duas matrizes $A$ e $B$ de mesma ordem $m \times n$. Essas matrizes são iguais se todos os seus elementos correspondentes são iguais entre si, ou seja, $a_{ij} = b_{ij}$ para todo $1 \le i \le m$ e $1 \le j \le n$.

Por exemplo, as matrizes $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 8 \\ \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 8 \\ \end{bmatrix}$ são iguais, pois $a_{ij} = b_{ij}$ para todo $1 \le i \le 2$ e $1 \le j \le 2$. Por outro lado, as matrizes $C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 8 \\ \end{bmatrix}$ e $D = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 2 \\ 5 & 9 & 3 \\ 7 & 8 & 4 \\ \end{bmatrix}$ são diferentes, pois $c_{11} \neq d_{11}$.

Soma de Matrizes

Sejam $A_{m \times n}$ e $B_{m \times n}$ duas matrizes de mesma ordem. A soma das matrizes $A$ e $B$, denotada por $A+B$, resulta na matriz $C_{m \times n}$, em que cada elemento $c_{ij}$ de $C$ é dado pela soma dos elementos correspondentes em $A$ e $B$, ou seja, $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$, para todo $1 \le i \le m$ e $1 \le j \le n$. Dadas as matrizes:

$$ A_{(m \times n)} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \text{ e } B_{(m \times n)} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\ \end{bmatrix} $$

A soma $C=A+B$ entre essas matrizes é:

$$ C_{(m \times n)} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\ \end{bmatrix} $$

A seguir, um exemplo de soma entre duas matrizes $A$ e $B$.

$$\begin{bmatrix} 3 & 6 & 2 \\ 0 & 7 & 1 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 81 & 15 & 12 \\ 33 & 91 & 32 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3+81 & 6+15 & 2+12 \\ 0+33 & 7+91 & 1+32 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 84 & 21 & 14 \\ 33 & 98 & 33 \\ \end{bmatrix}$$

Propriedades da Adição

A seguir, apresentamos as propriedades da operação de adição de matrizes.

  • Associatividade: dadas as matrizes $A$, $B$ e $C$ de mesma ordem, então $(A+B)+C$ = $A + (B+C)$.
  • Comutatividade: dadas as matrizes $A$ e $B$ de mesma ordem, então $A + B = B + A$.
  • Elemento neutro: dadas as matrizes $0$ e $A$, ambas de ordem ($m \times n$) e em que $0$ é a matriz cujos elementos são todos nulos (matriz nula), então $0 + A = A$ e $A + 0 = A$.
  • Elemento oposto: dada uma matriz $A$, existe uma matriz $-A$, denominada a oposta de $A$, tal que $b_{ij} = -a_{ij}$, para todo $a_{ij} \in A$ e $b_{ij} \in -A$. Então, $A + (-A) = 0$, lembrando que esse $0$ é a matriz nula, e não o número $0$.

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