Atividade 04

1. Considere a função $mais\_um: \mathbb{Z}→\mathbb{Z}$, que soma 1 ao valor da entrada. Defina a equação correspondente a essa função e defina $mais\_um^{−1}$, ou seja, defina seu conjunto de partida, seu conjunto de chegada e a equação que descreve seu mapeamento.
2. Realize a composição da função $dobro\_int$ com a função $mais\_um$, onde $dobro\_int$ é a função que associa a cada número inteiro o seu dobro.

Funções Numéricas

Já que estamos falando de matemática, na maioria das vezes nossas funções serão numéricas, ou seja, seus conjuntos de partida e de chegada devem ser conjuntos numéricos ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}$ etc.). Diversas propriedades de funções são então definidas especialmente para esse tipo de função. A primeira dessas propriedades que vamos ver aqui é a noção de grau de uma função, que é relacionada à representação da função por equações. Veremos também a noção de valor máximo e mínimo de uma função e como representar uma função numérica por um gráfico.

Grau de uma Função

Quando o mapeamento de uma função $f$ é dado por um polinômio, definimos o grau da função $f$ como sendo o grau do polinômio que define seu mapeamento. Dessa forma, se $f:\mathbb{R}→\mathbb{R}$ é definida por $f(x)=(2x)^{3}+5x−7$, então dizemos que o grau de $f$ é igual a $3$ ou simplesmente que $f$ é de $3°$ grau.

Função de 1^o Grau

Uma função de 1º grau é descrita pela fórmula $f(x)=ax+b$, com $a≠0$. Quando temos $b=0$, essa função é chamada de função linear, o modelo matemático para os problemas de proporcionalidade. Lembrando da nossa aula de proporção, podemos dizer que a constante de proporcionalidade na função linear é o $a$, enquanto a nossa entrada $x$ servirá como o conjunto de partida para o cálculo dos valores de $f(x)$. Dessa forma, podemos dizer que a grandeza $f(x)$ é diretamente proporcional à grandeza $x$ quando existe um número aa tal que $f(x)=ax$ para todo valor de $x$.

Em uma função de $1º$ grau, a constante $b$ será o valor de $f(x)$ quando $x$ for $0$ (na engenharia costumamos chamar essa constante de valor de offset).

Exercício Resolvido 01

Numa corrida de taxi, o taxista cobra $10$ reais pela bandeirada, mais 3 reais por quilômetro rodado. Que função usaremos pra calcular o custo de uma corrida?

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  $$ f(x)=3x+10 $$

  onde $f(x)$ é o custo da corrida em reais, $x$ a distância percorrida na viagem em quilômetros e $10$ é o valor constante por corrida. No caso de termos percorrido $20$ quilômetros, o valor da corrida será de:

  $f(x)=3\ \cdot 20+10=70$ reais

  Em uma equação de $1º$ grau, se temos o valor de $f(x)$, podemos descobrir facilmente o valor de $x$, se tivermos a fórmula original em mãos.

Exercício Resolvido 02

No caso da corrida de taxi, o valor da corrida no final deu $100$ reais. Quantos quilômetros eu percorri?

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  Se $f(x)=100$, substituindo na equação temos:

  $$ 100=3x+10 $$

  levando a constante pra o outro lado (subtraindo $10$ em ambos os lados da equação)

  $100−10=3 \cdot x$

  Em uma equação de $1º$ grau, se temos o valor de $f(x)$, podemos descobrir facilmente o valor de $x$, se tivermos a fórmula original em mãos.