Implicação

Equivalências úteis

A disjunção exclusiva pode ser reescrita em função da conjunção, disjunção e negação:

Atividade 01

Dadas as proposições p, q, e r, construa a tabela-verdade correspondente à expressão

Implicação

Uma implicação corresponde em português a uma construção

se "alguma proposição" então "outra proposição".

O operador booleano correspondente é comumente chamado de implica, ou de se-então. Nesse contexto, utilizamos o verbo implicar no sentido de produzir como consequência ou ser causa ou origem de algo. A primeira proposição de uma implicação é chamada de premissa e a segunda de conclusão. Uma implicação, para ser uma verdade, requer que sempre que a premissa seja verdadeira, a conclusão também o seja. Se a premissa for verdadeira e a conclusão for falsa, a implicação é uma mentira. Porém, nenhuma conclusão sobre a veracidade da segunda proposição é possível no caso da premissa ser falsa. Ou, dizendo de outra forma, nada se sabe sobre o valor da conclusão (ela tanto pode ser verdadeira como falsa) no caso da premissa ser falsa. Uma implicação não diz nada sobre a conclusão nesse caso.

Tomemos como exemplo a expressão

(a) se amanhã fizer sol, então Maria irá à praia.

Para a expressão acima, considere que no dia seguinte fez sol e Maria foi à praia. Neste caso, a expressão (a) é verdadeira, não? Por outro lado, se fez sol e Maria não foi à praia, a afirmação (a) é falsa (uma mentira). Nessa situação, a condição de fazer sol foi satisfeita, então, obrigatoriamente, Maria deveria ter ido à praia. E se no dia seguinte choveu? Nesse caso, tanto faz se Maria foi ou não à praia, pois, de qualquer maneira, (a) não é uma mentira, dado que ela só dizia algo sobre Maria ir ou não à praia no caso de fazer sol. É convencionado então que a afirmação (a) seja considerada verdadeira sempre que não fizer sol.

Na Lógica Booleana, o símbolo usado para indicar esse conectivo é o →. Consideremos agora as condições (3) e (4) do problema dos astronautas:

(3) Se R está no grupo então H também deve estar.

(4) Se T está no grupo então G não pode estar.

elas podem ser imediatamente formalizadas como

(3) $r → h$

e

(4) $t \to \ \sim g$

Observe que uma expressão booleana de uma implicação somente vai ser falsa se a premissa for verdadeira e a conclusão for falsa. Vejamos sua tabela-verdade:

Equivalências úteis

A implicação pode ser reescrita em função da disjunção e negação: