Propriedades de um Determinante
A seguir, mostramos algumas propriedades de determinantes para matrizes quadradas de ordem $n \ge 2$:
Essas propriedades são importantes porque nos permitem simplificar o cálculo de determinantes.
Atividade 01
- Para testar seus conhecimentos, calcule os determinantes das seguintes matrizes:
-
$
\begin{bmatrix}
45 \\
\end{bmatrix}
$
-
$
\begin{bmatrix}
54 & 12 \\
70 & 21 \\
\end{bmatrix}
$
-
$
\begin{bmatrix}
0 & 2 & 1 \\
7 & 3 & 6 \\
8 & 2 & 5 \\
\end{bmatrix}
$
-
$
\begin{bmatrix}
0 & -2 & 2 & 1 \\
7 & 1 & 3 & 6 \\
1 & 0 & 5 & 0 \\
8 & 4 & 2 & 5 \\
\end{bmatrix}
$
Matriz de Cofatores e Matriz Adjunta
Dada uma matriz quadrada $A_{m \times n}$, sua matriz adjunta, denotada por $adj(A)$, é a transposta da matriz de cofatores de $A$, $cof(A)$:
$$adj(A) = (cof(A))^{T}$$
$$
\text{onde }
cof \left(
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}
\right) =
\begin{bmatrix}
cof(a_{11}) & cof(a_{12}) & \cdots & cof(a_{1m}) \\
cof(a_{21}) & cof(a_{22}) & \cdots & cof(a_{2m}) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
cof(a_{m1}) & cof(a_{m2}) & \cdots & cof(a_{mn}) \\
\end{bmatrix}
$$
Exemplo 4
Dada a matriz $A=\begin{bmatrix}3 & 7 & 6 \\ 5 & 8 & 0\\ 9 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$ qual matriz corresponde à $adj(A)$?
Solução
Primeiro, devemos calcular a matriz de cofatores:
$$adj(A) = (cof(A))^{T}$$
$$
cof \left(
\begin{bmatrix}
3 & 7 & 6 \\
5 & 8 & 0 \\
9 & 2 & 1 \\
\end{bmatrix}
\right) = \\
\begin{bmatrix}
(-1)^{1+1} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 8 & 0\\ 2 & 1\\ \end{bmatrix} \right) &
(-1)^{1+2} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 5 & 0\\ 9 & 1\\ \end{bmatrix} \right) &
(-1)^{1+3} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 5 & 8\\ 9 & 2\\ \end{bmatrix} \right) \\
(-1)^{2+1} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 7 & 6\\ 2 & 1\\ \end{bmatrix} \right) &
(-1)^{2+2} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 3 & 6\\ 9 & 1\\ \end{bmatrix} \right) &
(-1)^{2+3} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 3 & 7\\ 9 & 2\\ \end{bmatrix} \right) \\
(-1)^{3+1} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 7 & 6\\ 8 & 0\\ \end{bmatrix} \right) &
(-1)^{3+2} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 3 & 6\\ 5 & 0\\ \end{bmatrix} \right) &
(-1)^{3+3} \cdot \det \left(\begin{bmatrix} 3 & 7\\ 5 & 8\\ \end{bmatrix} \right) \\
\end{bmatrix}
$$
$$
=
\begin{bmatrix}
1 \cdot (8 \cdot 1 - 2 \cdot 0) & 1 \cdot (5 \cdot 1 - 9 \cdot 0) & 1 \cdot (5 \cdot 2 - 9 \cdot 8) \\
-1 \cdot (7 \cdot 1 - 2 \cdot 6) & 1 \cdot (3 \cdot 1 - 9 \cdot 6) & -1 \cdot (3 \cdot 2 - 9 \cdot 7) \\
1 \cdot (7 \cdot 0 - 8 \cdot 6) & -1 \cdot (3 \cdot 0 - 5 \cdot 6) & 1 \cdot (3 \cdot 8 - 5 \cdot 7) \\
\end{bmatrix}
$$
$$
=
\begin{bmatrix}
8 & -5 & -62 \\
5 & -51 & 57 \\
-48 & 30 & -11 \\
\end{bmatrix}
$$
Em seguida, calculamos $adj(A)$ transpondo $cof(A)$:
Atividade 02
- Dada a matriz $\begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 7 & 3 & 6 \\ 8 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix}$, quanto vale $adj(A)$?